《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

例1 一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以 $a = 3\ m/s^2$ 的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以 $v_0 = 6\ m/s$ 的速度匀速驶来，从后边超过汽车，用下列三种方法，求：
(1) 汽车从路口启动后，在追上自行车之前两车相距最远时经过的时间和最远的距离。
(2) 当汽车与自行车相遇时汽车的速度。
方法一（分析法）：
方法二（图像法）：
方法三（函数法）：
方法提炼 在例 1 中，若汽车刚启动时，自行车到路口的距离为 $s$，
则相遇时的位移关系：$v_0t - \frac{1}{2}at^2 = s$，
代入数据：$3t^2 - 12t + 2s = 0$，根据判别式：
$12^2 - 24s ＞ 0$，即 $s ＜ 6$ 时，有两个解，表示相遇两次。
$12^2 - 24s = 0$，即 $s = 6$ 时，有一个解，表示相遇一次。
$12^2 - 24s ＜ 0$，即 $s ＞ 6$ 时，无解，表示不能相遇。

答案：
[答案]
(1)2s 6m
(2)12m/s
[解析] 方法一(分析法):运动示意图:
(1)当汽车的速度为$v = 6m/s$时，二者相距最远，所用时间为$t = \frac{v}{a}=2s$
最远距离为$\Delta s = v_0t - \frac{1}{2}at^2 = 6m$.
(2)两车相遇时，$v_0t' = \frac{1}{2}at'^2$，
解得$t' = 4s$，
汽车的速度为$v' = at' = 12m/s$.
方法二(图像法):
(1)汽车和自行车的$v - t$图像如图所示,由
图像可得$t = 2s$时，二者相距最远.最远距离等于图中阴影部分的面积，即$\Delta s = \frac{1}{2} × 6 × 2m = 6m$.
(2)两车相遇时，即两个$v - t$图线下方面积相等时，由图像得此时汽车的速度为$v' = 12m/s$.
方法三(函数法):
(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为:
$\Delta s = v_0t - \frac{1}{2}at^2$
因二次项系数小于0，
当$t = \frac{-v_0}{2 × (-\frac{1}{2}a)} = 2s$时有最大值，
最大值$\Delta s = v_0t - \frac{1}{2}at^2 = (6 × 2 - \frac{1}{2} × 3 × 2^2)m = 6m$.
(2)当$\Delta s = v_0t' - \frac{1}{2}at'^2 = 0$时相遇，
得$t' = 4s$，汽车的速度为$v = at' = 12m/s$.

例2 （2023·江苏模拟）如图甲所示，一辆出租车在平直公路上以 $v_0 = 30\ m/s$ 的速度匀速行驶，此时车的正前方 $x_0 = 126\ m$ 处有一辆电动车，正以 $v_1 = 8\ m/s$ 的速度匀速行驶，而出租车司机此时开始低头看手机，$4.5\ s$ 后才发现危险，司机经 $0.5\ s$ 反应时间后，立即采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时，出租车的速度—时间图像如图乙所示。
(1) 若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停止运动的这段时间内，出租车前进的距离是多少？
(2) 通过计算判断电动车是否被撞。若不会被撞，求两车之间的最小距离；若会相撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间两车相撞？

[img]
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答案： [答案]
(1)240m
(2)会相撞 0.8s
[解析]
(1)对出租车，先匀速行驶$t_1 = 4.5s$，然后在反应时间$t_2 = 0.5s$内继续匀速行驶，匀速行驶的位移$x_1 = v_0(t_1 + t_2)=150m$，再匀减速行驶$t_3 = 6.5s - 0.5s = 6s$，停止;
匀减速阶段运动的位移为$x_2 = \frac{1}{2}v_0t_3 = 90m$，
总位移为$x = x_1 + x_2 = 240m$.
(2)由题图乙可知，出租车做匀减速直线运动的加速度大小为$a = \frac{|\Delta v|}{t_3}=5m/s^2$，
设两车速度相等时，出租车的刹车时间为$\Delta t$，则有$v_0 - a\Delta t = v_1$，
解得$\Delta t = 4.4s$.
出租车的位移为$x_1 = v_0(t_1 + t_2) + \frac{1}{2}(v_0 + v_1)\Delta t$，
代入数据可解得$x_1 = 233.6m$.
电动车的位移为$x_2 = v_1(t_1 + t_2 + \Delta t)=75.2m$.
因为$x_1 - x_2 = 158.4m ＞ 126m$，故两车会相撞.
设两车经过时间$t'$相撞，则有$v_0(t_1 + t_2) + v_0t' - \frac{1}{2}at'^2 = x_0 + v_1(t_1 + t_2 + t')$，
代入数据解得$t' = 0.8s$(另一解$t' = 8s$不符合题意，舍去).

例3 （2024·山东模拟）2023 年 8 月，上海发布自动驾驶 $5G$ 标准，推动自动驾驶技术快速发展。甲、乙两辆 $5G$ 自动驾驶测试车，在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动，甲车在乙车前，甲车的速度大小 $v_1 = 72\ km/h$，乙车的速度大小 $v_2 = 36\ km/h$，如图所示。当甲、乙两车相距 $x_0 = 20\ m$ 时，甲车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小 $a = 2\ m/s^2$，从刹车时开始计时，两车均可看作质点。求：

(1) 两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离 $\Delta x$；
(2) 从甲车开始减速到两车并排所用时间 $t$。
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方法提炼 刹车中的追及问题要注意的两种情况：
(1) 当后面的车辆刹车时，与前面车辆恰好不相撞的条件是：速度相等时刚好追上。
(2) 当前面的车辆刹车时，先要计算刹车停止的时间和位移，根据位移关系，判断相遇情况：
① 若在前车停止前相遇，可以根据位移关系直接列方程求解。
② 若在前车停止后相遇，需要分别计算停车前、后运动的时间和位移。

答案： [答案]
(1)45m
(2)12s
[解析]
(1)当两车速度相等时，两者的距离最大，设经过时间$t_1$两者速度相等，
由$v_1 = 72km/h = 20m/s$，$v_2 = 36km/h = 10m/s$，
则$v_1 - at_1 = v_2$，
解得$t_1 = 5s$，
在$0 \sim t_1$时间内甲车位移为$x_1 = \frac{v_1 + v_2}{2}t_1 = \frac{20 + 10}{2} × 5m = 75m$，
乙车位移为$x_2 = v_2t_1 = 10 × 5m = 50m$，
两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离$\Delta x = x_0 + x_1 - x_2 = 20 + 75 - 50m = 45m$.
(2)设经过时间$t_2$甲车停下来，根据运动学公式可得$t_2 = \frac{v_1}{a}=\frac{20}{2}s = 10s$，
在$0 \sim t_2$时间内，甲车的位移$x_1' = \frac{v_1}{2}t_2 = \frac{20}{2} × 10m = 100m$，
乙车的位移为$x_2' = v_2t_2 = 10 × 10m = 100m$，
说明甲车速度减小到零时，甲、乙两车还相距20m，到两车并排乙车再运动的时间为$t_3 = \frac{x_0}{v_2}=\frac{20}{10}s = 2s$，
所以从甲车开始减速到两车并排所用时间$t = t_2 + t_3 = 12s$.