《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

例4 （2023·深圳模拟）假设某高楼距地面高 $H = 47\ m$ 的阳台上的花盆因受扰动而掉落，掉落过程可看作自由落体运动。有一辆长 $L_1 = 8\ m$、高 $h_1 = 2\ m$ 的货车，在楼下以 $v_0 = 9\ m/s$ 的速度匀速直行，要经过阳台的正下方，花盆刚开始下落时货车车头距花盆的水平距离为 $L_2 = 24\ m$（示意图如图所示，花盆可视为质点，重力加速度 $g = 10\ m/s^2$）。
(1) 若司机没有发现花盆掉落，货车保持 $v_0 = 9\ m/s$ 的速度匀速直行，通过计算说明货车是否会被花盆砸到；
(2) 若司机发现花盆掉落，采取制动（可视为匀变速，司机反应时间 $\Delta t = 1\ s$）的方式来避险，使货车在花盆砸落点前停下，求货车的最小加速度；
(3) 若司机发现花盆掉落，采取加速（可视为匀变速，司机反应时间 $\Delta t = 1\ s$）的方式来避险，则货车至少以多大的加速度加速才能避免被花盆砸到？

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方法提炼 对不在同一直线上的相遇问题，要利用好两个关系：
(1) 时间关系：两个运动时间相等，或存在已知的时间差。
(2) 位移关系：由于两个运动不在同一直线上，有时需要应用几何定律（如勾股定理等）确定位移关系。

答案： [答案]
(1)会，计算见解析
(2)2.7$m/s^2$
(3)2.5$m/s^2$
[解析]
(1)花盆从47m高处落下，到达离地高2m的车顶过程，位移为$h = (47 - 2)m = 45m$
根据自由落体运动位移与时间关系式，有
$h = \frac{1}{2}gt^2$
联立得$t = 3s$
3s内汽车位移为$x = v_0t = 27m$
因$L_2 = 24m ＜ x ＜ L_1 + L_2 = 32m$，则货车会被花盆砸到.
(2)货车匀减速的距离为$x_1 = L_2 - v_0 \cdot \Delta t = 15m$
制动过程中由运动学公式得$v^2 = 2a_0x_1$
联立得$a_0 = 2.7m/s^2$
(3)司机反应时间内货车的位移为$x_2 = v_0\Delta t = 9m$
此时车头离花盆的水平距离为$d = L_2 - x_2 = 15m$
采取加速方式，要成功避险，则有$d + L_1 = v_0(t - \Delta t) + \frac{1}{2}a(t - \Delta t)^2$
联立得$a = 2.5m/s^2$，即货车至少以2.5$m/s^2$的加速度加速才能避免被花盆砸到.

例5 在平直路面上，某时刻相距 $s = 17.5\ m$ 的甲、乙两玩具小车（可看作质点）从 $t = 0$ 时刻同时出发向同一方向运动，此时乙车在前，两车位移 $x$ 随时间 $t$ 的变化图像如图所示，甲图是过原点的直线，乙图是以 $y$ 轴为对称轴的抛物线。两车均搭载有蓝牙装置，发现在 $3\ s$ 末两车的蓝牙接通，求：

(1) 经多长时间甲、乙两车相距最近？
(2) 接通蓝牙时两车的距离。
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答案： [答案]
(1)4s
(2)10m
[解析]
(1)由图可知，甲为匀速直线运动，乙为匀加速直线运动，甲一直在追赶乙，根据追及问题的规律可知，两物体速度相同时距离最小，故$v_甲 = \frac{x}{t}=\frac{32}{8}m/s = 4m/s$
乙图是以$y$轴为对称轴的抛物线，则根据匀变速直线运动的公式$x = \frac{1}{2}at^2$
由$x = 32m$，$t = 8s$
解得加速度为$a = 1m/s^2$
两物体速度相等时，有$v_甲 = at$
解得$t = 4s$
(2)3s末两车的蓝牙接通，此过程中甲的位移为$x_甲 = v_甲t' = 12m$
乙的位移为$x_乙 = \frac{1}{2}at'^2 = 4.5m$
故接通蓝牙时两车的距离为$\Delta x = s + x_乙 - x_甲 = 17.5m + 4.5m - 12m = 10m$.

例6 （2024·上海模拟）ETC 是高速公路上不停车电子收费系统的简称，甲车减速至 $5\ m/s$ 通过 ETC 通道，ETC 自动抬杆放行，过收费站中心线后开始加速。将甲车加速的初时刻作为计时起点，此时乙车从人工通道过收费站，正在收费站中心线处停车缴费，$10\ s$ 后开始加速。甲、乙两辆车在平直公路上沿同一方向做直线运动，它们的 $v-t$ 图像如图所示。（两通道中心线在同一条直线上）求：从计时开始，

(1) 甲、乙两车加速阶段的最大加速度大小 $a_1$、$a_2$ 分别为多少？
(2) 乙车追上甲车前，在何时两车距离最大且距离的最大值 $\Delta x$ 为多少？
(3) 甲车何时被乙车追上，此时甲车前进的距离。
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方法提炼 (1) 在 $x-t$ 图像上，两图线交点表示相遇；在 $v-t$ 图像上，两图线交点表示速度相同，此时两物体间距离有极值。
(2) 在 $v-t$ 图像上，某段时间两图线的面积相等，则该段时间两物体的位移相等；若不相等，两物体的位移差等于两图线的面积差，考虑初始距离，判断是否相遇。

答案： [答案]
(1)0.5$m/s^2$ 2$m/s^2$
(2)100m
(3)27.5s 250m
[解析]
(1)由速度图像可知甲车的加速度的大小为$a_1 = \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{10 - 5}{10 - 0}m/s^2 = 0.5m/s^2$
乙车的加速度的大小为
$a_2 = \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{20 - 0}{20 - 10}m/s^2 = 2m/s^2$
(2)由题意知，在$t_1 = 15s$时，两车同速，两车间距离为最大值，在速度—时间图像中面积表示位移，则甲车的位移为$x_1 = \frac{5 + 10}{2} × 10m + 10 × 5m = 125m$
乙车的位移为$x_2 = \frac{0 + 10}{2} × 5m = 25m$
故乙车追上甲车前，两车间距的最大值为
$\Delta x = x_1 - x_2 = 100m$
(3)由速度—时间图像中面积表示位移可知，甲车运动20s时，甲车在前，乙车在后，两车间距为$\Delta x_0 = \frac{5 + \10}{2} × 10m = 75m$
之后甲、乙两车都分别以$v_甲 = 10m/s$，$v_乙 = 20m/s$的速度做匀速直线运动，设再经过时间$\Delta t$乙车追上甲车，则$\Delta x_0 = v_乙 \cdot \Delta t - v_甲 \cdot \Delta t$
代入数据解得$\Delta t = 7.5s$
此时，甲车运动时间为$t_2 = 20s + \Delta t = 20s + 7.5s = 27.5s$
甲车在该时间段内运动的位移为$x_3 = \frac{5 + 10}{2} × 10m + 10 × 17.5m = 250m$
故从甲车经过中心线开始计时经过27.5s，甲车前进250m时被乙车追上.