《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

例 2
（2023·上海模拟）如图 a 所示，宽度为 $ L $ 的足够长光滑金属导轨，水平固定在磁感应强度为 $ B $、范围足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上。现有一根质量为 $ m $、电阻为 $ R $ 的金属棒 $ MN $ 放置在金属导轨上，金属棒 $ MN $ 始终与导轨接触良好且垂直，不计导轨电阻。
（1）若金属棒 $ MN $ 在水平恒力 $ F $ 的作用下由静止开始运动，分析并判断金属棒 $ MN $ 的速度和加速度的变化情况。
（2）若给金属棒 $ MN $ 向右的初速度的同时施加一水平外力，使金属棒 $ MN $ 做匀减速直线运动。此过程中，外力随时间的变化关系图线如图 b 所示（以初速度方向为正方向），图线与横、纵坐标交点分别为 $ t_{0} $、$ F_{0} $。求金属棒 $ MN $ 的加速度大小 $ a $ 和初速度 $ v_{0} $。

答案： 例2【答案】
(1)加速度逐渐减小为零，速度逐渐增大至$\frac{FR}{B^{2}L^{2}}$后不再变化
(2)$\frac{F_{0}R}{B^{2}L^{2}t_{0}}$，$\frac{F_{0}R(B^{2}L^{2}t_{0} + mR)}{B^{4}L^{4}t_{0}}$
【解析】
(1)若金属棒$MN$在水平恒力$F$的作用下由静止开始运动，则在金属棒运动后回路中产生感应电流，从而使金属棒$MN$受到与运动方向相反的安培力，根据牛顿第二定律有$F - F_{安} = ma_{0}$，而$F_{安} = BIL$，$I = \frac{BLv}{R}$，则有$F - \frac{B^{2}L^{2}v}{R} = ma$。随着金属棒$MN$速度的增大，安培力增大，因此加速度减小，当$F = F_{安}$，加速度为零，速度达到最大$v_{m}$，可得$F = \frac{B^{2}L^{2}v_{m}}{R}$，
解得$v_{m} = \frac{FR}{B^{2}L^{2}}$，此后金属棒$MN$将以速度$v_{m}$做匀速直线运动，即金属棒先做加速度减小的加速直线运动，再做匀速直线运动。
(2)由牛顿第二定律可得$F_{安} - F = ma$，
即$\frac{B^{2}L^{2}v}{R} - F = ma$，根据运动学公式可得$v = v_{0} - at$，联立可得$F = \frac{B^{2}L^{2}v_{0}}{R} - \frac{B^{2}L^{2}a}{R}t - ma$，由图像可得斜率的绝对值为$k = \frac{F_{0}}{t_{0}} = \frac{B^{2}L^{2}a}{R}$，解得$a = \frac{F_{0}R}{B^{2}L^{2}t_{0}}$，由图像纵轴截距可得$F_{0} = \frac{B^{2}L^{2}v_{0}}{R} - ma$，解得$v_{0} = \frac{F_{0}R(B^{2}L^{2}t_{0} + mR)}{B^{4}L^{4}t_{0}}$。

例 3
(2023·云南模拟)(多选)如图所示，竖直平面内足够长的光滑“”形金属导轨间的距离为 $ L $，空间存在磁感应强度大小为 $ B $、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一根劲度系数为 $ k $ 的轻质绝缘弹簧上端固定在导轨上，下端连接一根质量为 $ m $ 的金属棒 $ ab $，弹簧处于原长时将金属棒由静止释放，金属棒下降 $ x $ 时速度最大。已知金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，金属棒的电阻为 $ R $，导轨电阻不计，弹簧具有的弹性势能 $ E_{p} = \dfrac{1}{2}kx^{2} $($ x $ 为弹簧的形变量)，重力加速度大小为 $ g $，则下列说法正确的是(BCD)



A.金属棒下降时通过的电流方向从 $ b $ 到 $ a $
B.金属棒运动过程中的最大速度为 $ \dfrac{(mg - kx)R}{B^{2}L^{2}} $
C.金属棒从释放到最后稳定的过程中，回路中产生的焦耳热为 $ \dfrac{m^{2}g^{2}}{2k} $
D.金属棒从释放到速度达到最大的过程中，克服安培力做的功为 $ mgx - \dfrac{mR^{2}(mg - kx)^{2}}{2B^{4}L^{4}} - \dfrac{1}{2}kx^{2} $

答案： 例3【答案】BCD
【解析】由右手定则可知，金属棒下降时通过的电流方向从$a$到$b$，故A项错误；当金属棒所受的合力等于零时速度达到最大，由平衡条件可得$mg = kx + F_{安}$，其中$F_{安} = BIL$，$I = \frac{E}{R}$，$E = BLv_{m}$，解得$v_{m} = \frac{(mg - kx)R}{B^{2}L^{2}}$，故B项正确；金属棒稳定后速度为零，处于静止状态，则有$mg = kx_{0}$，解得$x_{0} = \frac{mg}{k}$，整个过程中能量守恒，则有$mgx_{0} = Q + E_{p0}$，其中$E_{p0} = \frac{1}{2}kx^{2}$，解得$Q = \frac{(mg)^{2}}{2k}$，故C项正确；金属棒速度最大时，根据能量守恒定律有$mgx = \frac{1}{2}kx^{2} + W + \frac{1}{2}mv_{m}^{2}$，解得$W = mgx - \frac{mR^{2}(mg - kx)^{2}}{2B^{4}L^{4}} - \frac{1}{2}kx^{2}$，故D项正确。故选B、C、D三项。