《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

例1 （2023·河北模拟）在图甲所示的平面直角坐标系$xOy$内，正方形区域$(0 ＜ x ＜ d、0 ＜ y ＜ d)$内存在垂直$xOy$平面周期性变化的匀强磁场，规定图示磁场方向为正方向，磁感应强度$B$的变化规律如图乙所示，变化的周期$T$可以调节，图中$B_0$为已知。在$x = d$处放置一垂直于$x$轴的荧光屏，质量为$m$、电荷量为$q$的带负电粒子在$t = 0$时刻从坐标原点$O$沿$y$轴正方向射入磁场，不计粒子重力。
(1)调节磁场的周期，满足$T ＞ \frac{2\pi m}{qB_0}$，若粒子恰好打在屏上$P(d,0)$处，求粒子的速度大小$v$；
(2)调节磁场的周期，满足$T = \frac{\pi m}{qB_0}$，若粒子恰好打在屏上$Q(d,d)$处，求粒子的加速度大小$a$。

答案：
例1 [答案]
(1)$\frac{qB_{0}d}{2m}$
(2)$\frac{q^{2}B_{0}^{2}d}{m^{2}k}$(k = 1,2,3...)
[解析]
(1)满足T ＞ $\frac{2\pi m}{qB_{0}}$，粒子的运动轨迹

由洛伦兹力提供向心力，有$qv_{1}B_{0}=m\frac{v_{1}^{2}}{R_{1}}$
几何关系可得$2R_{1}=d$
联立解得$v_{1}=\frac{qB_{0}d}{2m}$
(2)满足T = $\frac{\pi m}{qB_{0}}$，粒子的轨迹

由几何关系可得$\sqrt{2}d = k\sqrt{2}R_{2}$，其中k = 1,2,3...
由$qv_{2}B_{0}=m\frac{v_{2}^{2}}{R_{2}}$
可得$v_{2}=\frac{qB_{0}d}{km}$(k = 1,2,3...)
而$a = \frac{qv_{2}B_{0}}{m}$
联立可得$a = \frac{q^{2}B_{0}^{2}d}{m^{2}k}$，k = 1,2,3.....

例2 （2023·湖南模拟）如图甲所示，在$xOy$坐标系第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度$B$随时间$t$变化的规律如图乙所示；与$x$轴平行的虚线$MN$下方有沿$+y$方向的匀强电场，电场强度$E = \frac{8}{\pi}×10^3N/C$。$t = 0$时刻，一个带正电粒子从$P$点以$v = 2×10^4m/s$的速度沿$+x$方向射入磁场。已知电场边界$MN$到$x$轴的距离为$\frac{\pi - 2}{10}m$，粒子的比荷$\frac{q}{m} = 10^6C/kg$，不计粒子的重力。求：
(1)粒子在磁场中运动时距$x$轴的最大距离；
(2)粒子经过$x$轴且与$P$点速度$v$相同的时刻；
(3)若粒子经过$y$轴与$y$轴成$\frac{\pi}{3}$角，求$P$点的坐标。

答案：
例2 [答案]
(1)0.4m
(2)$\frac{9}{2}\pi k×10^{-5}s$ (k = 1,2,3…..)
(3)$x_{P}=(0.4k + 0.1)m$ (k = 0,1,2,3...)或$x_{P}=(0.4k + 0.3)m$ (k = 0,1,2,3...)
[解析]
(1)根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有$qvB = m\frac{v^{2}}{R}$
解得半径为$R = 0.2m$
粒子在磁场中运动时，到x轴的最大距离为$y_{m}=2R = 0.4m$
(2)根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为$T = \frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi×0.2}{2×10^{4}}s = 2\pi×10^{-5}s$
由磁场变化规律可知，它在$0～\frac{3\pi}{2}×10^{-5}s$ (即$0～\frac{3}{4}T$)时间内做匀速圆周运动至A点，接着沿 - y方向做匀速直线运动直至电场边界C点，则有$t_{2}=\frac{R + y_{0}}{v}=\frac{\pi}{2}×10^{-5}s=\frac{T}{4}$
进入电场后做匀减速运动至D点，由牛顿第二定律可得，粒子的加速度为$a = \frac{qE}{m}=\frac{8}{\pi}×10^{9}m/s^{2}$
粒子从C点减速至D再反向加速至C所需的时间为$t_{3}=\frac{2v}{a}=\frac{2×2×10^{4}}{\frac{8}{\pi}×10^{9}}s=\frac{\pi}{2}×10^{-5}s=\frac{T}{4}$
接下来，粒子沿 + y轴方向匀速运动至

A所需时间仍为$t_{2}$，磁场刚好恢复，粒子将在洛伦兹力的作用下从A做匀速圆周运动，再经$\frac{3\pi}{2}×10^{-5}s$时间，粒子将运动到F点，轨迹如图所示
此后将重复前面的运动过程，所以粒子经过x轴，且与P点速度相同的时刻有$t = \frac{9}{2}\pi k×10^{-5}s$(k = 1,2,3…..)
(3)由上问可知，粒子每完成一次周期性的运动，将向 - x方向平移2R(即从P点移到F点)，粒子速度方向与y轴夹角成60°，有两种情况：若与y轴负方向为夹角60°，则有$x_{P}=2kR+(R - R\sin30^{\circ})$(k = 0,1,2,3...)，即$x_{P}=(0.4k + 0.1)m$(k = 0,1,2,3...)
若与y轴正方向夹角为60°，则有$x_{P}=2kR+(2R - R\sin30^{\circ})$(k = 0,1,2,3...)，即$x_{P}=(0.4k + 0.3)m$(k = 0,1,2,3…..)