《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

例 2 如图所示，AB、FG 均为半径 $ R = 0.45 $ m 的四分之一光滑圆弧轨道，半径 $ O_1B $、$ O_2F $ 均竖直，C 点在 B 点的正下方，C、D 两点在同一高度上，DE 为倾角 $ θ = 53° $、长度 $ L_1 = 2 $ m 的粗糙斜轨道，EF 为粗糙水平直轨道。一物块（视为质点）从 A 点由静止滑下，从 B 点水平飞出后恰好落到 D 点，并且物块落到 D 点时的速度方向与 DE 轨道平行，物块经过 EF 轨道后恰好能到达 G 点。物块与 DE、EF 两轨道间的动摩擦因数均为 $ μ = \frac{1}{3} $，取重力加速度大小 $ g = 10 $ m/s²，不计物块经过 E 点的能量损失，不计空气阻力。求：（$ \sin 53° = 0.8 $，结果可保留分数）

（1）C、D 两点间的距离 x；
（2）物块从 B 点运动到 E 点的时间 t；
（3）EF 轨道的长度 $ L_2 $ 以及物块最后停止的位置到 F 点的距离 s。

答案： 例2【答案】
(1)1.2 m
(2)$\frac{11}{15}\ s$
(3)6 m 1.35 m
【解析】
(1)物块从A点由静止滑到B点，由机械能守恒定律有$mgR = \frac{1}{2}mv_B^2$，解得$v_B = 3\ m/s$
物块从B到D做平抛运动，由速度的合成与分解可知，物块在D点的速度大小$v_D = \frac{v_B}{\cos\ \theta} = 5\ m/s$
竖直方向的分速度大小$v_y = v_B\tan\ \theta = 4\ m/s$
竖直方向物块做自由落体运动，有$v_y = gt_1$，解得$t_1 = 0.4\ s$
C、D两点间的距离$x = v_Bt_1 = 1.2\ m$.
(2)物块在斜轨道上的加速度大小$a_1 = g\sin\ \theta - \mu g\cos\ \theta = 6\ m/s^2$，
由$L_1 = v_Dt_2 + \frac{1}{2}a_1t_2^2$
代入数据解得$t_2 = \frac{1}{3}\ s$
物块从B点运动到E点的时间$t = t_1 + t_2 = 0.4\ s + \frac{1}{3}\ s = \frac{11}{15}\ s$.
(3)物块由F到G，由机械能守恒定律$\frac{1}{2}mv_F^2 = mgR$，
代入数据解得$v_F = \sqrt{2gR} = 3\ m/s$
物块在E点的速度$v_E = v_D + a_1t_2$，可得$v_E = 7\ m/s$
物块从E到F，由动能定理可得$-\mu mgL_2 = \frac{1}{2}mv_F^2 - \frac{1}{2}mv_E^2$
代入数据解得$L_2 = 6\ m$
物块由G点滑下经F点到粗糙水平直轨道上滑行直至停下，
由动能定理可得$-\mu mgs = 0 - \frac{1}{2}mv_F^2$
代入数据解得$s = 1.35\ m$.

例 3 如图所示，质量为 $ m_3 = 2 $ kg 的滑道静止在光滑的水平面上，滑道的 AB 部分是半径为 $ R = 0.3 $ m 的四分之一圆弧，圆弧底部与滑道水平部分相切，滑道水平部分右端固定一个轻弹簧。滑道除 CD 部分粗糙外其他部分均光滑。质量为 $ m_2 = 3 $ kg 的物体 2（可视为质点）放在滑道的 B 点，现让质量为 $ m_1 = 1 $ kg 的物体 1（可视为质点）自 A 点由静止释放。两物体在滑道上的 B 点相碰后粘为一体（$ g = 10 $ m/s²）。若 $ CD = 0.2 $ m，两物体与滑道的 CD 部分的动摩擦因数都为 $ μ = 0.15 $，求：

（1）在整个运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能；
（2）物体 1、2 最终停在何处？

答案： 例3【答案】
(1)0.3 J
(2)D点左端，离D点0.05 m处
【解析】
(1)设$m_1$、$m_2$刚要相碰时物体1的速度$v_1$，滑道的速度为$v_3$，
由机械能守恒定律有$m_1gR = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_3v_3^2$
由动量守恒定律有$0 = m_1v_1 - m_3v_3$
设物体1和物体2相碰后的共同速度为$v_2$，
由动量守恒定律有$m_1v_1 = (m_1 + m_2)v_2$
弹簧第一次压缩最短时由动量守恒定律可知物体1、2和滑道速度为零，此时弹性势能最大，设为$E_{pm}$.从物体1、2碰撞后到弹簧第一次压缩最短的过程中，
由能量守恒有$\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v_2^2 + \frac{1}{2}m_3v_3^2 - \mu(m_1 + m_2)gx_{CD} = E_{pm}$
联立以上方程，代入数据可得，$E_{pm} = 0.3\ J$.
(2)分析可知物体1、2和滑道最终将静止，设物体1、2相对滑道CD部分运动的路程为$s$，由能量守恒定律有$\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v_2^2 + \frac{1}{2}m_3v_3^2 = \mu(m_1 + m_2)gs$
代入数据可得：$s = 0.25\ m$
所以$m_1$、$m_2$最终停在D点左端且离D点距离为0.05 m处.