《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

例 6
（2023·安徽模拟）如图所示，平行光滑金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成。导轨水平部分的一段处于 $ B = 0.50 \, T $、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场（图示虚线）中。在磁场中离左边界 $ l = 0.40 \, m $ 处垂直于水平导轨放置导体棒 a，在倾斜导轨高 $ h = 0.2 \, m $ 处垂直于导轨放置导体棒 b，将导体棒 b 由静止释放，结果发现导体棒 a 以 $ 1 \, m/s $ 的速度从磁场右边界离开。已知导体棒 a、b 的质量均为 $ m = 0.01 \, kg $，阻值均为 $ R = 0.10 \, \Omega $，棒的长度均等于导轨间距 $ L = 0.20 \, m $，不计导轨电阻，导体棒在运动过程中始终垂直于导轨且接触良好，$ g $ 取 $ 10 \, m/s^{2} $，忽略磁场边界效应。求：
（1）安培力对导体棒 a 做的功；
（2）导体棒 a 刚出磁场时，导体棒 b 的速度大小及两棒之间的距离；
（3）整个过程中，安培力对导体棒 b 做的功。

答案： 例6【答案】
(1)$0.005\ J$
(2)$1\ m/s$ $0.2\ m$
(3)$-0.02\ J$
【解析】
(1)导体棒$a$在安培力的作用下由静止向右加速运动，根据动能定理，安培力对导体棒$a$做的功$W_{1} = \frac{1}{2}mv^{2} = 0.005\ J$。
(2)导体棒$b$在倾斜部分运动时，由机械能守恒定律有$mgh = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}$，代入数据解得$v_{0} = 2\ m/s$，导体棒$b$进入磁场与导体棒$a$通过磁场相互作用直到导体棒$a$出磁场，由动量守恒定律有$mv_{0} = mv_{1} + mv_{2}$，代入数据解得$v_{2} = 1\ m/s$，即导体棒$a$出磁场时，两棒已获得共同速度，此过程中，对导体棒$b$运用动量定理有$BIL\Delta t = mv_{2} - mv_{0}$，通过的电荷量为$q = \overline{I}\Delta t = \frac{BL\Delta x}{2R}$，代入数据解得$\Delta x = 0.2\ m$，两棒之间的距离为$x_{1} = l - \Delta x = 0.4\ m - 0.2\ m = 0.2\ m$。
(3)导体棒$b$进入磁场与导体棒$a$通过磁场相互作用后获得共同速度的过程中，安培力对导体棒$b$做的功$W_{2} = \frac{1}{2}mv_{2}^{2} - \frac{1}{2}mv_{0}^{2} = -0.015\ J$，导体棒$a$从磁场中出来时，导体棒$b$与磁场右边界相距$x_{2} = 0.2\ m$，此时对导体棒$b$运用动量定理有$-BLq' = mv_{3} - mv_{2}$，通过的电荷量为$q' = \frac{BLx_{2}}{2R}$，代入数据解得$v_{3} = 0$，导体棒$b$刚好停止在磁场右边界处，该过程中安培力对导体棒$b$做的功$W_{3} = - \frac{1}{2}mv_{2}^{2} = -0.005\ J$，因此整个运动过程中安培力对于导体棒$b$做的功为$W_{总} = W_{2} + W_{3} = -0.02\ J$。

1.
(2023·浙江 6 月选考)如图所示，质量为 $ M $、电阻为 $ R $、长为 $ L $ 的导体棒，通过两根长均为 $ l $、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为 $ L $。细杆通过开关 $ S $ 可与直流电源 $ E_{0} $ 或理想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为 $ B $ 的匀强磁场，不计空气阻力和其他电阻。开关 $ S $ 接 1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角固定点 $ \theta = \dfrac{\pi}{4} $；然后开关 $ S $ 接 2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中(C)


A.电源电动势 $ E_{0} = \dfrac{\sqrt{2}Mg}{2BL}R $
B.棒消耗的焦耳热 $ Q = \left(1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)Mgl $
C.从左向右运动时，最大摆角小于 $ \dfrac{\pi}{4} $
D.棒两次过最低点时感应电动势大小相等

答案：
1.答案 C
解析 当开关接1时，对导体棒受力分析如图所示，根据几何关系
可得$Mg = BIL$，解得$I = \frac{Mg}{BL}$，根据欧姆定律$I = \frac{E_{0}}{R}$，解得$E_{0} = \frac{MgR}{BL}$，故A项错误；根据右手定则可知导体棒从右向左运动时，产生的感应电动势与二极管正方向相同，部分机械能转化为焦耳热；导体棒从左向右运动时，产生的感应电动势与二极管相反，没有机械能损失；若导体棒运动到最低点时速度为零，导体棒损失的机械能转化为焦耳热为$Q' = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)Mgl$，根据楞次定律可知导体棒完成一次振动速度为零时，导体棒高度高于最低点，所以棒消耗的焦耳热$Q ＜ Q' = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)Mgl$，故B项错误；根据B选项分析可知，导体棒运动过程中，机械能转化为焦耳热，所以从左向右运动时，最大摆角小于$\frac{\pi}{4}$，故C项正确；根据B选项分析，导体棒第二次经过最低点时的速度小于第一次经过最低点时的速度，根据$E = Blv$，可知棒两次过最低点时感应电动势大小不相等，故D项错误。故选C项。

2.
(2023·重庆)如图所示，与水平面夹角为 $ \theta $ 的绝缘斜面上固定有光滑 U 型金属导轨。质量为 $ m $、电阻不可忽略的导体杆 $ MN $ 沿导轨向下运动，以大小为 $ v $ 的速度进入方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场区域，在磁场中运动一段时间 $ t $ 后，速度大小变为 $ 2v $。运动过程中杆与导轨垂直并接触良好，导轨的电阻忽略不计，重力加速度为 $ g $。杆在磁场中运动的此段时间内(D)


A.流过杆的感应电流方向从 $ N $ 到 $ M $
B.杆沿轨道下滑的距离为 $ \dfrac{3}{2}vt $
C.流过杆感应电流的平均电功率等于重力的平均功率
D.杆所受安培力的冲量大小为 $ mgt\sin\theta - mv $

答案： 2.答案 D
解析 根据右手定则，判断知流过杆的感应电流方向从$M$到$N$，故A项错误；依题意，设杆切割磁感线的有效长度为$L$，电阻为$R$。杆在磁场中运动的此段时间内，杆受到重力，轨道支持力及沿轨道向上的安培力作用，根据牛顿第二定律可得$mg\sin\theta - F_{安} = ma$，$F_{安} = BIL$，$I = \frac{BLv}{R}$
联立可得杆的加速度$a = g\sin\theta - \frac{B^{2}L^{2}v}{mR}$，可知，杆在磁场中运动的此段时间内做加速度逐渐减小的加速运动；若杆做匀加速直线运动，则杆运动的距离为$s = \frac{v + 2v}{2} \cdot t = \frac{3}{2}vt$，根据$v - t$图像围成的面积表示位移，可知杆在时间$t$内速度由$v$达到$2v$，杆真实运动的距离大于匀加速情况发生的距离，即大于$\frac{3}{2}vt$，故B项错误；由于在磁场中运动的此段时间内，杆做加速度逐渐减小的加速运动，杆的动能增大。由动能定理可知，重力对杆所做的功大于杆克服安培力所做的功，根据$\overline{P} = \frac{W}{t}$可得安培力的平均功率小于重力的平均功率，即流过杆感应电流的平均功率小于重力的平均功率，故C项错误；杆在磁场中运动的此段时间内，根据动量定理，可得$mg\sin\theta \cdot t - I_{安} = m \cdot 2v - mv$，
得杆所受安培力的冲量大小为$I_{安} = mg\sin\theta \cdot t - mv$，故D项正确。故选D项。

3.
(2023·山东)(多选)足够长 U 形导轨平放在光滑水平绝缘桌面上，宽为 $ 1 \, m $，电阻不计。质量为 $ 1 \, kg $、长为 $ 1 \, m $、电阻为 $ 1 \, \Omega $ 的导体棒 $ MN $ 放置在导轨上，与导轨形成矩形回路并始终接触良好，Ⅰ和Ⅱ区域内分别存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度分别为 $ B_{1} $ 和 $ B_{2} $，其中 $ B_{1} = 2 \, T $，方向向下。用不可伸长的轻绳跨过固定轻滑轮将导轨 $ CD $ 段中点与质量为 $ 0.1 \, kg $ 的重物相连，绳与 $ CD $ 垂直且平行于桌面。如图所示，某时刻 $ MN $、$ CD $ 同时分别进入磁场区域Ⅰ和Ⅱ并做匀速直线运动，$ MN $、$ CD $ 与磁场边界平行。$ MN $ 的速度 $ v_{1} = 2 \, m/s $，$ CD $ 的速度为 $ v_{2} $ 且 $ v_{2} ＞ v_{1} $，$ MN $ 和导轨间的动摩擦因数为 $ 0.2 $。重力加速度大小取 $ 10 \, m/s^{2} $，下列说法正确的是(BD)


A.$ B_{2} $ 的方向向上
B.$ B_{2} $ 的方向向下
C.$ v_{2} = 5 \, m/s $
D.$ v_{2} = 3 \, m/s $

答案： 3.答案 BD
解析 导轨的速度$v_{2} ＞ v_{1}$，因此对导体棒受力分析可知导体棒受到向右的摩擦力以及向左的安培力，摩擦力大小为$f = \mu mg = 2\ N$，导体棒的安培力大小为$F_{1} = f = 2\ N$，由左手定则可知导体棒的电流方向为$N \to M \to D \to C \to N$，导体框受到向左的摩擦力，向右的拉力和向右的安培力，安培力大小为$F_{2} = f - m_{0}g = 1\ N$，由左手定则可知$B_{2}$的方向为垂直纸面向下，A项错误，B项正确；对导体棒分析$F_{1} = B_{1}IL$，对导体框分析$F_{2} = B_{2}IL$，电路中的电流为$I = \frac{B_{1}Lv_{1} - B_{2}Lv_{2}}{r}$，
联立解得$v_{2} = 3\ m/s$，C项错误，D项正确；故选B、D两项。