《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

3. (2021·海南)如图，一长木板在光滑的水平面上以速度 $ v_0 $ 向右做匀速直线运动，将一小滑块无初速度地轻放在木板最右端。已知滑块和木板的质量分别为 $ m $ 和 $ 2m $，它们之间的动摩擦因数为 $ \mu $，重力加速度为 $ g $。
(1) 滑块相对木板静止时，求它们的共同速度大小；
(2) 某时刻木板速度是滑块的 2 倍，求此时滑块到木板最右端的距离；
(3) 若滑块轻放在木板最右端的同时，给木板施加一水平向右的外力，使得木板保持匀速直线运动，直到滑块相对木板静止，求此过程中滑块的运动时间以及外力所做的功。

答案： 3.答案
(1)$\frac{2v_0}{3}$
(2)$\frac{7v_0^2}{25\mu g}$
(3)$\frac{v_0}{\mu g}$ $m v_0^2$
解析
(1)由于地面光滑，则木板与滑块组成的系统动量守恒，有$2mv_0 = 3mv_{共}$
解得$v_{共} = \frac{2v_0}{3}$.
(2)由于木板速度是滑块的2倍，则有$v_{木} = 2v_{滑}$
再根据动量守恒定律有$2mv_0 = 2mv_{木} + mv_{滑}$
联立化简得$v_{滑} = \frac{2}{5}v_0$，$v_{木} = \frac{4}{5}v_0$
再根据功能关系有$-\mu mgx = \frac{1}{2} × 2mv_{木}^2 + \frac{1}{2}mv_{滑}^2 - \frac{1}{2} × 2mv_0^2$
经过计算得$x = \frac{7v_0^2}{25\mu g}$
(3)由于木板保持匀速直线运动，则有$F = \mu mg$
对滑块进行受力分析，并根据牛顿第二定律有$a_{滑} = \mu g$
滑块相对木板静止时有$v_0 = a_{滑}t$
解得$t = \frac{v_0}{\mu g}$
则整个过程中木板滑动的距离为$x' = v_0t = \frac{v_0^2}{\mu g}$
则拉力所做的功为$W = Fx' = m v_0^2$

4. (2023·湖南)如图，质量为 $ M $ 的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为 $ a $ 和 $ b $，长轴水平，短轴竖直。质量为 $ m $ 的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑。以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系 $ xOy $，椭圆长轴位于 $ x $ 轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为 $ g $。

(1) 小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；
(2) 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，求出小球运动的轨迹方程；
(3) 若 $ \frac{M}{m} = \frac{b}{a - b} $，求小球下降 $ h = \frac{b}{2} $ 高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用 $ a $、$ b $ 及 $ g $ 表示）。

答案： 4.答案
(1)$\sqrt{\frac{2m^2gb}{M(m + M)}}$ $\frac{ma}{M + m}$
(2)$\frac{[(M + m)x - ma]^2}{M^2a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
(3)$2b\sqrt{\frac{g}{a + 3b}}$
解析
(1)小球从静止到第一次运动到轨道最低点的过程，水平方向上小球和凹槽组成的系统动量守恒，有$0 = mv_1 - Mv_2$
对小球与凹槽组成的系统，由机械能守恒定律有
$mgb = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}Mv_2^2$
联立解得$v_2 = \sqrt{\frac{2m^2gb}{M(m + M)}}$
根据人船模型规律，在水平方向上有$mx_1 = Mx_2$
又由位移关系知$x_1 + x_2 = a$
解得凹槽相对于初始时刻运动的距离$x_2 = \frac{ma}{M + m}$
(2)小球向左运动过程中，凹槽向右运动，当小球的坐标为$(x,y)$时，小球向左运动的位移$x_1' = a - x$，则凹槽水平向右运动的位移为$x_2' = \frac{m}{M}(a - x)$
小球在凹槽所在的椭圆上运动，根据数学知识可知小球的运动轨迹满足$\frac{(x - x_2')^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
整理得小球运动的轨迹方程为
$\frac{[(M + m)x - ma]^2}{M^2a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
(3)若$\frac{M}{m} = \frac{b}{a - b}$，代入
(2)问结果化简可得$[x - (a - b)]^2 + y^2 = b^2$
即小球的运动轨迹是半径为$b$的圆
小球下降$h = \frac{b}{2}$高度的过程，小球与凹槽组成的系统在水平方向动量守恒，有$mv_{1x}' = Mv_{2x}'$
对小球与凹槽组成的系统，由机械能守恒定律有$mgh = \frac{1}{2}mv_{1x}'^2 + \frac{1}{2}Mv_{2x}'^2$
由几何关系及速度的分解得$v_{1}' \sin 30^{\circ} = v_{1x}'$
联立解得$v_{1}' = 2b\sqrt{\frac{g}{a + 3b}}$.