《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

练 3（2024·福建模拟）下雨时，为什么蚊子不会被雨滴砸死？科学家研究发现蚊子被雨滴击中时并不抵挡雨滴，而是很快与雨滴融为一体，随后迅速侧向微调与雨滴分离。已知蚊子的质量为 $ m $，飘浮在空气中（速度为零）；雨滴质量为 $ nm $，雨滴所受空气阻力与下落速度成正比，比例系数为 $ k $，击中蚊子前，雨滴已经匀速竖直下落，蚊子与雨滴融为一体时间为 $ \Delta t $，蚊子重力不计。求：

(1) 蚊子与雨滴融为一体后，蚊子的速度大小 $ v $；
(2) 蚊子与雨滴融为一体的过程中，蚊子受到的平均作用力 $ F $。

答案： 练3 【答案】
(1)$\frac{n^2mg}{(n + 1)k}$
(2)$\frac{n^2m^2g}{(n + 1)k\Delta t}$
【解析】
(1)击中蚊子前，雨滴已经匀速竖直下落，则有$kv_0 = nmg$
蚊子与雨滴融为一体，有$nmv_0 = (n + 1)mv$
解得$v = \frac{n^2mg}{(n + 1)k}$.
(2)对蚊子由动量定理有$F\Delta t = mv$
解得$F = \frac{n^2m^2g}{(n + 1)k\Delta t}$.

练 4 如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。甲和他的冰车总质量为 $ M = 30 \, kg $，乙和他的冰车总质量也是 $ 30 \, kg $。游戏时，甲推着一个质量为 $ m = 15 \, kg $ 的箱子和他一起以 $ v_0 = 2 \, m/s $ 的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住。（不计冰面摩擦）

(1) 若甲将箱子以速度 $ v $ 推出，甲的速度变为多少？（用字母表示）
(2) 设乙抓住迎面滑来的速度为 $ v $ 的箱子后反向运动，乙抓住箱子后的速度变为多少？（用字母表示）
(3) 若甲、乙最后不相撞，则箱子被推出的速度至少多大？

答案：  【答案】
(1)$\frac{(M + m)v_0 - mv}{M}$
(2)$\frac{mv - Mv_0}{m + M}$
(3)$5.2 m/s$
【解析】
(1)设甲的速度变为$v_1$，甲将箱子推出的过程，甲和箱子组成的系统动量守恒，以$v_0$的方向为正方向，由动量守恒定律得$(M + m)v_0 = mv + Mv_1$
解得$v_1 = \frac{(M + m)v_0 - mv}{M}$.
(2)设乙抓住箱子后的速度变为$v_2$，箱子和乙作用的过程，乙和箱子组成的系统动量守恒，以箱子的速度方向为正方向，由动量守恒定律得$mv - Mv_0 = (m + M)v_2$
解得$v_2 = \frac{mv - Mv_0}{m + M}$.
(3)甲、乙不相撞的条件是$v_1 \leq v_2$，其中$v_1 = v_2$为甲、乙恰好不相撞的条件，即$\frac{(M + m)v_0 - mv}{M} \leq \frac{mv - Mv_0}{m + M}$
代入数据得$v \geq 5.2 m/s$，所以箱子被推出的速度为$5.2 m/s$时，甲、乙恰好不相撞.