《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

例1(2023·安徽模拟)(多选)如图所示，半径为$R$的双层光滑管道位于竖直平面内，质量为$m$、带电荷量为$+q$的小球位于管道最低点$A$，$B$是最高点，空间存在水平向左、场强大小$E=\frac{mg}{q}$的匀强电场，现在$A$点给小球一水平初速度$v_0$，小球恰好能够做完整的圆周运动，重力加速度为$g$，下列说法正确的是(AC)


A.$v_0$的大小为$\sqrt{2(\sqrt{2}+1)gR}$
B.经过$B$点时小球受到管道外壁的压力大小为$(3 - 2\sqrt{2})mg$
C.经过$A$点时小球受到管道外壁的支持力大小为$(3 + 2\sqrt{2})mg$
D.若在$A$点给小球的水平初速度增大一倍，小球经过$B$点的速度也增大一倍

答案：
[答案] AC
[解析] 如图所示
小球在等效最低点$P$静止时，受重力、支持力和电场力三力平衡，根据平衡条件，有$mg\tan\theta =qE$，结合$E = \frac{mg}{q}$可知$\theta = 45^{\circ}$，且重力和电场力的合力$F = \sqrt{2}mg$。

小球恰好能够做完整的圆周运动，说明小球经过等效最高点$Q$时速度刚好为零，由$Q$到$A$根据动能定理，有$mg(R + R\cos45^{\circ}) + qER\sin45^{\circ} = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}$，解得$v_{0} = \sqrt{2(\sqrt{2} + 1)gR}$，A项正确；在$A$点根据向心力公式有$N - mg = m\frac{v_{0}^{2}}{R}$，解得$N = (3 + 2\sqrt{2})mg$，C项正确；由$B$到$A$根据动能定理，有$mg \cdot 2R = \frac{1}{2}mv_{0}^{2} - \frac{1}{2}mv_{B}^{2}$，解得$v_{B} = \sqrt{v_{0}^{2} - 4gR}$，在$B$点有$mg - N_{B} = m\frac{v_{B}^{2}}{R}$，解得经过$B$点时小球受到管道内壁的支持力大小为$N_{B} = (3 - 2\sqrt{2})mg$，B项错误；若在$A$点速度加倍，有$-mg \cdot 2R = \frac{1}{2}mv_{B}'^{2} - \frac{1}{2}m(2v_{0})^{2}$，解得$v_{B}' = 2\sqrt{v_{0}^{2} - gR} \neq 2v_{B}$，D项错误，故选A、C两项。

例2如图所示，一条长为$L$的细线上端固定，下端拴一个质量为$m$的电荷量为$q$的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从$A$点静止释放，当细线离开竖直位置偏角$\alpha = 60°$时，小球速度为$0$。

(1)求电场强度$E$。
(2)若小球恰好完成竖直圆周运动，求从$A$点释放小球时应有的初速度$v_A$的大小。
方法提炼（等效重力法）
等效重力法：先求出带电体所受重力和电场力的合力，将这个合力视为粒子受到的等效重力，再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解。
对于带电粒子在电场和重力场的共同作用下的运动，等效重力法通常用于求解圆周运动的临界值和极值问题。

答案： [答案]
(1)$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$
(2)$\sqrt{2gL(\sqrt{3} + 1)}$
[解析]
(1)小球由$A$点释放到速度等于零，由动能定理有：$EqL\sin\alpha - mgL(1 - \cos\alpha) = 0$，解得$E = \frac{\sqrt{3}mg}{3q}$。
(2)将小球的重力和电场力的合力作为小球的等效重力$G'$，则$G' = \frac{2\sqrt{3}}{3}mg$，方向与竖直方向成$30^{\circ}$角偏向右下方。若小球恰能做完整的圆周运动，在等效最高点，$\frac{2\sqrt{3}}{3}mg = m\frac{v^{2}}{L}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}mgL(1 + \cos30^{\circ}) = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}mv_{A}^{2}$，联立解得$v_{A} = \sqrt{2gL(\sqrt{3} + 1)}$。