《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

1. (2023·山东)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质且都满足$F\propto\frac{Mm}{r^2}$。已知地月之间的距离$r$大约是地球半径的$60$倍，地球表面的重力加速度为$g$，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为(C)

A.$30\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$
B.$30\pi\sqrt{\frac{g}{r}}$
C.$120\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$
D.$120\pi\sqrt{\frac{g}{r}}$

答案： 1.答案 C
解析 设地球半径为$R$，由题知，地球表面的重力加速度为$g$，则有$mg = G\frac{M_{地}m}{R^{2}}$，月球绕地球公转有$G\frac{M_{地}m_{月}}{r^{2}} = m_{月}\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，$r = 60R$，联立有$T = 120\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$故选C项.

2. (2023·辽宁)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为$T_1$，地球绕太阳运动的周期为$T_2$，地球半径是月球半径的$k$倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(D)


A.$k^3(\frac{T_1}{T_2})^2$
B.$k^3(\frac{T_2}{T_1})^2$
C.$\frac{1}{k^3}(\frac{T_1}{T_2})^2$
D.$\frac{1}{k^3}(\frac{T_2}{T_1})^2$

答案： 2.答案 D
解析 设月球绕地球运动的轨道半径为$r_{1}$，地球绕太阳运动的轨道半径为$r_{2}$，根据$G\frac{M_{地}m}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，可得$G\frac{M_{地}}{r^{2}} = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，$G\frac{m_{月}}{r_{1}^{2}}r_{1}$，$G\frac{M_{地}}{r_{2}^{2}} = \frac{4\pi^{2}}{T_{1}^{2}}r_{2}$，其中$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{R_{月}}{R_{日}} = \frac{R_{地}}{kR_{日}} = \frac{m}{\rho} \cdot \frac{1}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}$，联立可得$\frac{\rho_{地}}{\rho_{日}} = \frac{1}{k^{3}(\frac{T_{2}}{T_{1}})^{2}}$，故选D项.

3. (2023·浙江6月选考)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为$1:2:4$。木卫三周期为$T$，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径$r$的$n$倍。月球绕地球公转周期为$T_0$，则(D)

A.木卫一轨道半径为$\frac{n}{16}r$
B.木卫二轨道半径为$\frac{n}{2}r$
C.周期$T$与$T_0$之比为$n^{\frac{3}{2}}$
D.木星质量与地球质量之比为$\frac{T_0^2}{T^2}n^3$

答案： 3.答案 D
解析 根据题意可得，木卫三的轨道半径为$r_{3} = nr$，根据万有引力提供向心力$G\frac{M_{地}m_{3}}{(nr)^{2}} = m_{3}\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}nr$，$G\frac{M_{地}m_{月}}{r^{2}} = m_{月}\frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}r$，联立可得$\frac{M_{地}}{M_{地}} = \frac{T_{0}^{2}}{T^{2}}n^{3}$，故D正确.故选D项.

4. (2023·广东)如图a所示，太阳系外的一颗行星$P$绕恒星$Q$做匀速圆周运动。由于$P$的遮挡，探测器探测到$Q$的亮度随时间做如图b所示的周期性变化，该周期与$P$的公转周期相同。已知$Q$的质量为$M$，引力常量为$G$。关于$P$的公转，下列说法正确的是(B)

A.周期为$2t_1 - t_0$
B.半径为$\sqrt[3]{\frac{GM(t_1 - t_0)^2}{4\pi^2}}$
C.角速度的大小为$\frac{\pi}{t_1 - t_0}$
D.加速度的大小为$\sqrt[3]{\frac{2\pi GM}{t_1 - t_0}}$

答案： 4.答案 B
解析 由图b可知探测器探测到$Q$的亮度随时间变化的周期为$T = t_{1} - t_{0}$，则$P$的公转周期为$t_{1} - t_{0}$，故A项错误；$P$绕恒星$Q$做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得$\frac{GMm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，解得半径$r = \sqrt[3]{\frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}} = \sqrt[3]{\frac{GM(t_{1} - t_{0})^{2}}{4\pi^{2}}}$，故B项正确；$P$的角速度为$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{t_{1} - t_{0}}$，故C项错误；$P$的加速度大小为$a = \omega^{2}r = (\frac{2\pi}{t_{1} - t_{0}})^{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{2\pi GM}{t_{1} - t_{0}}}$，故D项错误.故选B项.

5. (2023·北京)螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为$R$的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为$M$，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为$r$，引力常量为$G$。
(1)求$r ＞ R$区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小$v$与$r$的关系；
(2)根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求$r\leqslant R$区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小$v$与$r$的关系；
(3)科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小$v$随$r$的变化关系图像，如图所示，根据在$r ＞ R$范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围$(r ＞ R)$存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求$r = nR$内暗物质的质量$M'$。

答案： 5.答案
(1)$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
(2)$v = r\sqrt{\frac{GM}{R^{3}}}$
(3)$(n - 1)M$
解析
(1)由万有引力定律和向心力公式有$\frac{GMm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}$解得$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
(2)在$r \leq R$内部，星体质量$M_{0} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^{3}} \cdot \frac{4}{3}\pi r^{3} = \frac{Mr^{3}}{R^{3}}$由万有引力定律和向心力公式有$\frac{M_{0}m}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}$解得$v = r\sqrt{\frac{GM}{R^{3}}}$
(3)对处于球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有$\frac{GMm}{R^{2}} = m\frac{v_{0}^{2}}{R}$对处于$r = nR$处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有$\frac{G(M + M')m}{(nR)^{2}} = \frac{mv_{0}^{2}}{nR}$解得$M' = (n - 1)M$