《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

例 3 (2023·河北模拟)(多选)如图所示，在直角坐标系 $xOy$ 的第一象限内存在磁感应强度大小为 $B$、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在 $y$ 轴上 $S$ 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为 $m$、电荷量均为 $q$ 的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离 $S$ 最远的位置是 $x$ 轴上的 $P$ 点. 已知 $OP = \sqrt{3}OS = \sqrt{3}d$，粒子带负电，粒子所受重力及粒子间的相互作用均不计，则(AD)


A.粒子的速度大小为 $\frac{qBd}{m}$
B.从 $x$ 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为 $3:2$
C.沿平行 $x$ 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到 $O$ 点的距离为 $\frac{3}{2}d$
D.从 $O$ 点射出的粒子在磁场中的运动时间为 $\frac{\pi m}{3qB}$

答案：
例3【答案】AD
【解析】根据几何关系可得$SP = \sqrt{(SO)^2 + (OP)^2} = 2d$，所有粒子射出磁场时离$S$最远的位置是$x$轴上的$P$点，可知粒子做圆周运动的半径$r$满足$2r = SP = 2d$，可得$r = d$，根据洛伦兹力提供向心力可得$qvB = m\frac{v^2}{r}$，解得$v = \frac{qBd}{m}$，故A项正确；从$x$轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为$\frac{t_{\max}}{t_{\min}} = \frac{\frac{\alpha}{2\pi}T}{\frac{\theta}{2\pi}T} = \frac{\alpha}{\theta} = \frac{\frac{3\pi}{2}}{\frac{\pi}{3}} = \frac{9}{2}$，故B项错误；沿平行$x$轴正方向射入的粒子，其圆心在$O$点，离开磁场时的位置到$O$点的距离为$r$，即沿平行$x$轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到$O$点的距离为$d$，故C项错误；从$O$点射出的粒子轨迹如图所示，对应的圆心角为$\theta = \frac{\pi}{3}$，从$O$点射出的粒子在磁场中的运动时间为$t = \frac{\theta r}{v} = \frac{\pi m}{3qB}$，故D项正确.故选A、D两项.

例 4 (2023·四川二模)(多选)如图所示，直角三角形 $ABC$ 位于纸面内，$\angle C = 30^{\circ}$，$AB$ 边长为 $\sqrt{3}d$. 垂直于纸面向外的匀强磁场被限定在直角三角形 $ABC$ 区域内. 质量为 $m$、电荷量为 $+q$ 的粒子从 $A$ 点以速度 $v$ 沿纸面射入磁场区域，刚好从 $C$ 点离开磁场. 粒子重力不计，下列说法中正确的是(BD)


A.磁场磁感应强度的最大值为 $\frac{2mv}{3qd}$
B.粒子通过磁场的最长时间为 $\frac{\pi d}{v}$
C.粒子在磁场做匀速圆周运动的最小周期为 $\frac{3\pi d}{v}$
D.粒子在磁场做匀速圆周运动的最大角速度为 $\frac{v}{3d}$

答案：
例4【答案】BD
【解析】根据带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的特点可知，粒子从$C$点沿$BC$方向射出磁场时，粒子做匀速圆周运动的半径最小、磁场磁感应强度最大、通过磁场的时间最长、周期最小、角速度最大.当粒子从$C$点沿$BC$方向射出磁场时，粒子的运动轨迹如图，设粒子的轨道半径为$r$，由几何知识可知$r = AC = \frac{\sqrt{3}d}{\tan 30°} = 3d$，由$r = \frac{mv}{qB}$，$t = \frac{\pi}{v}r$，$T = \frac{2\pi m}{qB}$，$\omega = \frac{2\pi}{T}$，可得最大磁感应强度为$\frac{mv}{3qd}$、通过磁场的最长时间为$\frac{\pi d}{v}$、最小周期为$\frac{6\pi d}{v}$、最大角速度$\frac{v}{3d}$.故选B、D两项.

例 5 (2023·新疆三模)(多选)如图所示，边长为 $L$ 的正方形 $ABCD$ 内表面涂有荧光材料，粒子打在表面会被吸收并发出荧光. 正方形区域内存在方向垂直该平面向外、磁感应强度大小为 $B$ 的匀强磁场，粒子源从正方形 $AD$ 边的中点 $P$ 沿垂直磁场方向持续发射质量为 $m$、电荷量为 $q$ 的带正电的某种粒子，发射速度方向斜向上，速度大小与发射角的关系为 $v = \frac{v_{0}}{\cos\alpha}$，$\alpha$ 为发射速度方向与水平方向的夹角，$0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ}$，其中 $\alpha = 0^{\circ}$ 的粒子恰好从 $AB$ 边中点射出. 不计粒子间的相互作用力和粒子的重力，下列说法正确的是(AC)


A.粒子从 $P$ 点运动至与 $DC$ 边相切所需的时间为 $\frac{\pi m}{3qB}$
B.粒子在 $BC$ 边发出荧光的总长度为 $L$
C.打在 $B$ 点的粒子轨道半径为 $\frac{5L}{8}$
D.粒子在磁场中运动的最长时间为 $\frac{\pi m}{2qB}$
(六)圆形边界磁场中的临界值

答案：
例5【答案】AC
【解析】当$\alpha = 0°$的粒子速度$v = v_0$，粒子恰好从$AB$边中点射出，则$\frac{L}{2} = \frac{mv_0}{qB}$，当粒子从$P$点运动至与$DC$边相切时，则轨道半径$r = \frac{mv}{qB} = \frac{mv_0}{qB\cos\alpha} = \frac{L}{2\cos\alpha}$，即$r\cos\alpha = \frac{L}{2}$，可知所有粒子的轨迹圆心都在$AB$边上；当轨迹与$DC$相切时由几何关系$r\cos\alpha = r - \frac{L}{2}$，可得$r = L$，$\alpha = 60°$，则粒子运动的时间$t = \frac{60°}{360°} \cdot \frac{2\pi m}{qB} = \frac{\pi m}{3qB}$，A项正确；
当粒子轨道与$DC$边相切时，粒子打到$BC$边上的位置为上边缘，可知粒子在$BC$边发出荧光的总长度小于$L$，B项错误；
打在$B$点的粒子轨迹如图乙，此时轨迹与$B$点相切，设$\angle APB = \beta$，则$2r\cos(\beta - \alpha) = PB = \frac{\sqrt{5}}{2}L$，其中$r = \frac{L}{2\cos\alpha}$，由几何关系$\cos\beta = \frac{1}{\sqrt{5}}$，$\sin\beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$，解得$\tan\alpha = \frac{3}{4}$，解得轨道半径为$r = \frac{5L}{8}$，C项正确；当轨迹圆与$B$点相切时，粒子在磁场中转过的角度大于$90°$，此时运动时间$t ＞ \frac{\pi m}{qB}$，D项错误.故选A、C两项.