《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

例3 （2024·惠州市模拟）质谱仪可被应用于分离同位素，图a是其简化模型。大量质量$m = 1.60×10^{-27}kg$、电荷量为$q = 1.60×10^{-19}C$的质子，从粒子源$A$下方以近似速度为$0$飘入电势差为$U_0 = 450V$的加速电场中，从中央位置进入平行板电容器。当平行板电容器不加电压时，质子将沿图中虚线从$O$点进入磁感应强度$B = 0.1T$的匀强磁场中，经磁场偏转后打在水平放置的屏上，已知磁场方向垂直于纸面向外，电容器极板长度$L = 6cm$，两极板间宽度$d = 2cm$。现给平行板电容器加上如图b所示的偏转电压，质子在电容器中运动的时间远小于电压变化的周期$T$，水平屏分布在电容器竖直极板两侧，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，求：
(1)质子射出加速电场时速度的大小；
(2)为使质子经偏转电场后能全部进入磁场，偏转电压的最大值$U_m$；
(3)质子打在水平放置的屏上的痕迹长度$s$。

答案：
例3 [答案]
(1)$3×10^{5}m/s$
(2)100V
(3)0.02m
[解析]
(1)质子在加速电场中，根据动能定理有$qU_{0}=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$
解得$v_{0}=3×10^{5}m/s$
(2)当偏转电压为$U_{m}$时，质子偏移量最大，依题意质子的最大偏移量为$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}at^{2}$
在偏转电场中的竖直方向做匀速直线运动，有$L = v_{0}t$
由牛顿第二定律得$qE = ma$
且$U_{m}=Ed$
解得$U_{m}=100V$
(3)作出粒子运动轨迹

设质子离开偏转磁场时的速度为$v_{1}$
质子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，得$qv_{1}B=\frac{mv_{1}^{2}}{R}$
设速度偏向角为$\theta$，则有$v_{1}=\frac{v_{0}}{\cos\theta}$
质子在磁场中的偏转距离为$x = 2R\cos\theta$
联立解得$x=\frac{2mv_{0}}{qB}$
可知质子不管以多大的偏转角（或不同的位置）进入磁场，质子在磁场中的偏转距离（即弦长）是固定不变的，故质子打在水平放置的屏上的痕迹长度为电容器两极板之间的宽度d，则有$s = d = 2cm = 0.02m$

例4 （2024·河北模拟）如图甲所示，在$O - xyz$三维坐标系的空间内有平行$z$轴向上且交替变化的匀强电场、匀强磁场，电场、磁场随时间变化的规律分别如图乙、丙所示，$t = 0$时，一带正电的粒子以初速度$v_0$从$O$点沿$x$轴正方向射入，在$t_1 = \frac{L}{v_0}$时粒子恰经过点$P(L、0、L)$（图中未画出）。已知电场强度大小为$E_0$，磁感应强度大小为$\frac{3\pi E_0}{2v_0}$，粒子重力不计，求：
(1)粒子的比荷；
(2)粒子在$t = \frac{2L}{v_0}$时的位置坐标；
(3)粒子在$t = \frac{3L}{v_0}$时的速度；
(4)$t = \frac{nL}{v_0}$（$n$为整数）时，粒子所处位置的$z$轴坐标值$z_n$。

答案：
例4 [答案]
(1)$\frac{2v_{0}^{2}}{E_{0}L}$
(2)$(L,-\frac{2L}{3\pi},3L)$
(3)$\sqrt{17}v_{0}$，方向在xOz平面内与z轴正方向夹角的正切值为$\frac{1}{4}$
(4)$\frac{n(1 + n)L}{2}$
[解析]
(1)粒子在$0～\frac{L}{v_{0}}$时间内在xOz平面内做类平抛运动，x方向$x = v_{0}t_{1}=L$
故粒子在$t_{1}=\frac{L}{v_{0}}$时刻经过P点，z轴方向$L=\frac{1}{2}at^{2}$，$E_{0}q = ma$
解得$\frac{q}{m}=\frac{2v_{0}^{2}}{E_{0}L}$
(2)粒子经过P点时沿z轴速度大小为$v_{z}$，$v_{z}=at_{1}=2v_{0}$
在磁场区域沿z轴方向匀速运动，在xOy平面内做匀速圆周运动，设圆周运动半径为R

由$qv_{0}B_{0}=m\frac{v_{0}^{2}}{R}$
圆周运动的周期$T = \frac{2\pi R}{v_{0}}$
粒子经时间$t_{2}=\frac{L}{v_{0}}$，沿z轴运动的距离$z_{2}=v_{z}t_{2}=2L$
圆周运动转过的圆心角为$\alpha = \frac{t_{2}}{T}×2\pi = 3\pi$
故粒子在xOy平面内沿y轴方向运动的距离$d = 2R=\frac{2L}{3\pi}$
粒子在$\frac{2L}{v_{0}}$时的位置坐标为$(L,-\frac{2L}{3\pi},3L)$
(3)粒子再次在电场中运动，沿z轴的初速度为$v_{z}=2v_{0}$
沿x轴负方向的速度$v_{x}=v_{0}$
在xOz平面内做类斜抛运动，沿坐标轴方向分解：

沿x轴负方向匀速运动$v_{0}t_{3}=L$
沿z轴正方向匀加速运动$v_{z}'=v_{z}+at_{3}=4v_{0}$
速度大小为$v$，$v=\sqrt{v_{0}^{2}+v_{z}'^{2}}=\sqrt{17}v_{0}$
速度方向在xOz平面内与z轴正方向成夹角$\theta$，$\tan\theta=\frac{v_{0}}{v_{z}'}=\frac{1}{4}$
(4)粒子在有电场时沿z轴匀加速运动，第1、3、5......个单位时间内沿z轴方向前进位移为L、3L、5L......，在有磁场存在时，沿z轴匀速运动，第2、4、6……个单位时间内沿z轴方向前进位移分别为2L、4L、6L……，则粒子在$\frac{nL}{v_{0}}$的时间内沿z方向位移$z_{n}=L + 2L + 3L + 4L+\cdots+nL$
故$z_{n}=\frac{n(1 + n)L}{2}$