《2025年高考调研高考总复习讲义高中物理人教版》

例 9 (2023·湖北三模)如图所示，边长为 $a = 0.4\ m$ 正方形区域 $ABCD$ 内无磁场，正方形中线 $PQ$ 将区域外左右两侧分成两个磁感应强度均为 $B = 0.2\ T$ 的匀强磁场区域，$PQ$ 右侧磁场方向垂直于纸面向外，$PQ$ 左侧磁场方向垂直于纸面向里. 现将一质量为 $m = 1×10^{-8}\ kg$，电荷量为 $q = 2×10^{-6}\ C$ 的正粒子从 $AB$ 中点以某一速率垂直于 $AB$ 射入磁场，不计粒子的重力，则关于粒子的运动，下列说法正确的是(C)

A.若粒子能垂直于 $BC$ 射入正方形区域内，则粒子的最大速度为 $12\ m/s$
B.若粒子能垂直于 $BC$ 射入正方形区域内，则粒子的速度可能为 $10\ m/s$
C.若粒子能垂直于 $BC$ 射入正方形区域内，则粒子的速度可能为 $\frac{8}{3}\ m/s$
D.若粒子能垂直于 $BC$ 射入正方形区域内，则粒子的速度可能为 $2\ m/s$

答案：
例9【答案】C
【解析】根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力有$qvB = m\frac{v^2}{r}$
若粒子能垂直于$BC$射入正方形区域内，则粒子可能的运动轨迹如图所示

由几何关系可得$(2n + 1)r = \frac{a}{2} (n = 0,1,2,\cdots)$
解得$v = \frac{qBa}{(4n + 2)m} (n = 0,1,2,\cdots)$
当$n = 0$时，速度最大为$v_{\max} = 8 m/s$
当$n = 1$时，$v = \frac{8}{3} m/s$
当$n = 2$时，$v = \frac{8}{5} m/s$，则粒子的速度不可能为$2 m/s$.故选C项.

例 10 (2023·广西二模)(多选)如图所示，$A$、$C$ 两点分别位于 $x$ 轴和 $y$ 轴上，$\angle OCA = 30^{\circ}$，$OA$ 的长度为 $L$. 在 $\triangle OCA$ 区域内(包括边界)有垂直于 $xOy$ 平面向里的匀强磁场. 质量为 $m$、电荷量为 $q$ 的带电粒子，以各种不同的速度垂直 $OA$ 边射入磁场. 已知粒子从某点射入时，恰好垂直于 $OC$ 边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 $2t_{0}$. 不计重力. 下列说法正确的是(BD)


A.带电粒子带负电
B.磁场的磁感应强度的大小为 $\frac{\pi m}{4qt_{0}}$
C.从 $OA$ 中点射入磁场的带电粒子可以从 $C$ 点出射
D.能从 $OA$ 边射出的带电粒子最大射入速度是 $\frac{2\sqrt{3} - 3}{4t_{0}}\pi L$

答案：
例10【答案】BD
【解析】由左手定则可知带电粒子带正电，故A项错误；
粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间$2t_0$内其速度方向改变了$90°$，故其周期$T = 8t_0$，设磁感应强度大小为$B$，粒子速度为$v$，圆周运动的半径为$r$，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得$qvB = m\frac{v^2}{r}$，匀速圆周运动的速度满足$v = \frac{2\pi r}{T}$，解得$B = \frac{\pi m}{4qt_0}$，故B项正确；
由题给条件可知，带电粒子从$C$点出射，则$C$为切点，如图甲所示

由几何关系可知，粒子的轨迹半径为$2\sqrt{3}L$，入射点到$A$点距离为$(4 - 2\sqrt{3})L$，不是从$OA$中点射入磁场，故C项错误；
由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹与$AC$边、$OC$边相切时，粒子的轨迹半径最大，此时粒子的入射速度最大，如图乙所示

设$O'$为圆弧的圆心，圆弧的半径为$r_0$，圆弧与$AC$相切于$N$点，从$O$点射出磁场，由几何关系可知$r_0 + \frac{r_0}{\cos 30°} = L$，设粒子最大入射速度大小为$v_m$，由圆周运动规律有$qv_mB = m\frac{v_m^2}{r_0}$，解得$v_m = \frac{(2\sqrt{3} - 3)\pi L}{4t_0}$，故D项正确.故选B、D两项.

例 11 (2020·江苏)空间存在两个垂直于 $Oxy$ 平面的匀强磁场，$y$ 轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为 $2B_{0}$、$3B_{0}$. 甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点 $O$ 沿 $x$ 轴正向射入磁场，速度均为 $v$. 甲第 $1$ 次、第 $2$ 次经过 $y$ 轴的位置分别为 $P$、$Q$，其轨迹如图所示. 甲经过 $Q$ 时，乙也恰好同时经过该点. 已知甲的质量为 $m$，电荷量为 $q$. 不考虑粒子间的相互作用和重力影响. 求：

(1)$Q$ 到 $O$ 的距离 $d$；
(2)甲两次经过 $P$ 点的时间间隔 $\Delta t$；
(3)乙的比荷 $\frac{q'}{m'}$ 可能的最小值.

答案： 例11【答案】
(1)$\frac{mv}{3qB_0}$
(2)$\frac{2\pi m}{qB_0}$
(3)$\frac{2q}{m}$
【解析】
(1)甲粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由$qvB = m\frac{v^2}{R}$得$R_1 = \frac{mv}{2qB_0}$，$R_2 = \frac{mv}{3qB_0}$.
$Q$、$O$的距离为$d = 2R_1 - 2R_2 = \frac{mv}{3qB_0}$.
(2)由
(1)可知，完成一个周期运动上升的距离为$d$，设粒子再次经过$P$，经过$N$个周期，
$N = \frac{OP}{d} = \frac{2R_1}{d} = 3$
所以，再次经过$P$点的时间为$t = NT = 3T$
由匀速圆周运动的规律得，$T_1 = \frac{2\pi R_1}{v} = \frac{\pi m}{qB_0}$.
$T_2 = \frac{2\pi R_2}{v} = \frac{2\pi m}{3qB_0}$.
绕一周的时间为：$T = \frac{T_1}{2} + \frac{T_2}{2}$
解得：$T = \frac{5\pi m}{6qB_0}$.
所以，再次经过$P$点的时间为$t = 3T = \frac{5\pi m}{2qB_0}$
两次经过$P$点的时间间隔为：$\Delta t = t - \frac{T_1}{2}$
解得：$\Delta t = \frac{2\pi m}{qB_0}$.
(3)洛伦兹力提供向心力，由$qvB = m\frac{v^2}{R}$得，
$R_1' = \frac{m'v}{2q'B_0}$，$R_2' = \frac{m'v}{3q'B_0}$，$d' = 2R_1' - 2R_2'$
若乙粒子从第一象限进入第二象限的过程中与甲粒子在$Q$点相遇，则：
$2R_1' + nd' = OQ = d$
$n(\frac{T_1'}{2} + \frac{T_2'}{2}) = \frac{T_1}{2} + \frac{T_2}{2}$，结合以上式子，$n$无解.
若乙粒子从第二象限进入第一象限的过程中与甲粒子在$Q$点相遇，则：
$nd' = OQ$
计算可得$\frac{q'}{m'} = \frac{q}{m} (n = 1,2,3\cdots)$
由于甲、乙粒子比荷不同，则$n = 2$时，乙的比荷$\frac{q'}{m'}$最小，为$\frac{q'}{m'} = \frac{2q}{m}$.