《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例5
已知函数$f(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\sin\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) + \dfrac{\sqrt{6}}{4}\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right)$.
(1)求函数$f(x)$在区间$\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right]$上的最值；
(2)若$\cos\theta = \dfrac{4}{5}$，$\theta\in\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$，求$f\left(2\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)$的值.

答案： 例5 解
(1)函数$f(x)$在区间$\left[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right]$上的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$，最小值为$-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
(2)$\frac{31}{50}$

已知$f(x) = \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2\sqrt{3}\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)\cdot\cos\left(x + \dfrac{3\pi}{4}\right)$.
(1)求$f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$的值；
(2)若锐角$\alpha$满足$f(\alpha) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，求$\sin2\alpha$的值.

答案： 训练3 解
(1)0；
(2)$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}$