《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点三 平面与平面的夹角
例 3 (15 分) (2024·新高考 I 卷) 如图, 四棱锥 $ P - ABCD $ 中, $ PA \perp $ 底面 $ ABCD $, $ PA = AC = 2 $, $ BC = 1 $, $ AB = \sqrt{3} $.
(1) 若 $ AD \perp PB $, 证明: $ AD // $ 平面 $ PBC $;
(2) 若 $ AD \perp DC $, 且二面角 $ A - CP - D $ 的正弦值为 $ \frac{\sqrt{42}}{7} $, 求 $ AD $.

答案：
思路分析
(1) 通过证明 $ AD // BC $, 从而证明 $ AD // $ 平面 $ PBC $.
(2) 法一 确定线线关系 $ \to $ 建系 $ \to $ 设点写坐标 $ \to $ 求平面的法向量 $ \to $ 利用公式构建方程 $ \to $ 求 $ AD $ 的长.
法二 确定线面关系 $ \to $ 找到二面角 $ A - CP - D $ 的平面角 $ \to $ 设 $ AD $ 的长 $ \to $ 构建方程求解.
规范解答
(1) 证明 由于 $ PA \perp $ 底面 $ ABCD $, $ AD \subset $ 底面 $ ABCD $, 所以 $ PA \perp AD $, 线线垂直 (1 分)
又因为 $ AD \perp PB $, $ PA \cap PB = P $, $ PA $, $ PB \subset $ 平面 $ PAB $, 所以 $ AD \perp $ 平面 $ PAB $, 线面垂直 (2 分)
又 $ AB \subset $ 平面 $ PAB $, 所以 $ AD \perp AB $.
易知 $ AB^2 + BC^2 = AC^2 $, 所以 $ AB \perp BC $, (3 分)
因为 $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ 四点共面, 所以 $ BC // AD $, 线线平行 (5 分)
又因为 $ AD \not\subset $ 平面 $ PBC $, $ BC \subset $ 平面 $ PBC $, 所以 $ AD // $ 平面 $ PBC $. 线面平行 (6 分)
(2) 解 法一

以 $ D $ 为坐标原点, $ AD $ 所在直线为 $ x $ 轴, $ DC $ 所在直线为 $ y $ 轴, 过点 $ D $ 且平行于 $ AP $ 的直线为 $ z $ 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 建系
令 $ AD = a $, 则 $ D(0, 0, 0) $, $ A(a, 0, 0) $, 则 $ C(0, \sqrt{4 - a^2}, 0) $, $ P(a, 0, 2) $, 所以 $ \overrightarrow{CD} = (0, -\sqrt{4 - a^2}, 0) $, $ \overrightarrow{AC} = (-a, \sqrt{4 - a^2}, 0) $, $ \overrightarrow{CP} = (a, -\sqrt{4 - a^2}, 2) $. 设点写坐标 (8 分)
设平面 $ CPD $ 的法向量 $ \boldsymbol{n} = (x, y, z) $, 则 $ \begin{cases} \overrightarrow{CD} \cdot \boldsymbol{n} = 0, \\ \overrightarrow{CP} \cdot \boldsymbol{n} = 0, \end{cases} $ 即 $ \begin{cases} -\sqrt{4 - a^2} y = 0, \\ ax - \sqrt{4 - a^2} y + 2z = 0, \end{cases} $ 可取 $ \boldsymbol{n} = (2, 0, -a) $. 求出平面的法向量 (9 分)
设平面 $ ACP $ 的法向量 $ \boldsymbol{m} = (x_1, y_1, z_1) $, 则 $ \begin{cases} \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{CP} = 0, \\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AC} = 0, \end{cases} $ 即 $ \begin{cases} ax_1 - \sqrt{4 - a^2} y_1 + 2z_1 = 0, \\ -ax_1 + \sqrt{4 - a^2} y_1 = 0, \end{cases} $ 可取 $ \boldsymbol{m} = (\sqrt{4 - a^2}, a, 0) $. 求出平面的法向量 (10 分)
因为二面角 $ A - CP - D $ 的正弦值为 $ \frac{\sqrt{42}}{7} $, 则其余弦值的绝对值为 $ \frac{\sqrt{7}}{7} $, (11 分)
解得 $ a = \sqrt{3} $, 即 $ AD = \sqrt{3} $. 解方程得结果 (15 分)
法二 如图所示, 过点 $ D $ 作 $ DE \perp AC $ 于 $ E $, 再过点 $ E $ 作 $ EF \perp CP $ 于 $ F $, 连接 $ DF $, 因为 $ PA \perp $ 平面 $ ABCD $, 所以平面 $ PAC \perp $ 平面 $ ABCD $, 而平面 $ PAC \cap $ 平面 $ ABCD = AC $, 所以 $ DE \perp $ 平面 $ PAC $, 故 $ DE \perp CP $, 又 $ EF \perp CP $, 且 $ DE $, $ EF \subset $ 平面 $ DEF $, 所以 $ CP \perp $ 平面 $ DEF $, 根据二面角的定义可知, $ \angle DFE $ 即为二面角 $ A - CP - D $ 的平面角, 即 $ \sin \angle DFE = \frac{\sqrt{42}}{7} $, 即 $ \tan \angle DFE = \sqrt{6} $.

因为 $ AD \perp DC $, 设 $ AD = x $, 则 $ CD = \sqrt{4 - x^2} $, 由等面积法可得, $ DE = \frac{x \sqrt{4 - x^2}}{2} $, 又 $ CE = \sqrt{(4 - x^2) - \frac{x^2(4 - x^2)}{4}} = \frac{4 - x^2}{2} $, 而 $ \triangle EFC $ 为等腰直角三角形, 所以 $ EF = \frac{4 - x^2}{2\sqrt{2}} $, 故 $ \tan \angle DFE = \frac{\frac{x \sqrt{4 - x^2}}{2}}{\frac{4 - x^2}{2\sqrt{2}}} = \sqrt{6} $, 解得 $ x = \sqrt{3} $, 即 $ AD = \sqrt{3} $.