《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点三 全称量词与存在量词
角度 1 含量词命题的否定及真假判断
例 3 (1) (2025·邵阳联考) 命题“$\exists x \in \mathbf{R}, x^2 - 4x + 6 ＜ 0$”的否定为(D)

A.$\exists x \in \mathbf{R}, x^2 - 4x + 6 ＞ 0$
B.$\exists x \in \mathbf{R}, x^2 - 4x + 6 \leq 0$
C.$\forall x \in \mathbf{R}, x^2 - 4x + 6 ＜ 0$
D.$\forall x \in \mathbf{R}, x^2 - 4x + 6 \geq 0$

答案： 例3
(1)D [
(1)“∃x∈R,x²−4x+6＜0”的否定为“∀x∈R,x²−4x+6≥0”.]

(2) (2024·新高考Ⅱ卷) 已知命题 $p: \forall x \in \mathbf{R}$，$|x + 1| ＞ 1$；命题 $q: \exists x ＞ 0, x^3 = x$. 则(B)

A.$p$ 和 $q$ 都是真命题
B.$\neg p$ 和 $q$ 都是真命题
C.$p$ 和 $\neg q$ 都是真命题
D.$\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

答案：
(2)B [
(2)在命题p中,当x=−1时,|x+1|=0,所以命题p为假命题,¬p为真命题.在命题q中,因为立方根等于本身的实数有−1,0,1,所以∃x＞0,使得x³=x,所以命题q为真命题,¬q为假命题,所以¬p和q都是真命题.]

角度 2 含量词命题的应用
例 4 (2024·河南百校联考) 已知 $p: \forall x \in [-1, 2]$，$x^2 - 2x + a ＜ 0$；$q: \exists x \in \mathbf{R}, x^2 - 4x + a = 0$. 若 $p$ 为假命题，$q$ 为真命题，则 $a$ 的取值范围为(A)

A.$[-3, 4]$
B.$(-3, 4]$
C.$(-\infty, -3)$
D.$[4,$$+\infty)$

答案： 例4A [由题意知,p:∀x∈[−1,2],x²−2x+a＜0为假命题,则¬p:∃x∈[−1,2],x²−2x+a≥0为真命题,当x∈[−1,2]时,y=x²−2x+a的图象的对称轴方程为x=1,此时其最大值为(−1)²−2×(−1)+a=3+a,则3+a≥0,解得a≥−3.又q:∃x∈R,x²−4x+a=0为真命题,即Δ=16−4a≥0,解得a≤4.综上,a的取值范围为[−3,4].]

(1) (多选) (2025·深圳质检) 下列命题中，为真命题的有(AD)

A.$\forall x ＞ 0, x + \frac{1}{x} \geq 2$
B.$\exists x ＜ 0, x + \frac{1}{x} ＞ -2$
C.$\forall x ＞ 0, \frac{x}{1 + x^2} \geq \frac{1}{2}$
D.$\exists x ＜ 0, \frac{x}{1 + x^2} \leq -\frac{1}{2}$

答案： 训练3
(1)AD [
(1)对于A,利用基本不等式可得$∀x＞0,x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{x·\frac{1}{x}}=2,$当且仅当x=1时,等号成立,故A正确；![img alt=答案解析与规律方法493]对于B,对于∀x＜0,−x＞$0,x+\frac{1}{x}−(−x+\frac{1}{x})≤−2\sqrt{−x·\frac{1}{−x}}=−2,$当且仅当x=−1时,等号成立,故命题∃x＜0,x+\frac{1}{x}＞−2为假命题,故B错误；对于C,易知对于$∀x＞0,\frac{x}{1+x²}≤\frac{1}{2\sqrt{x·\frac{1}{x}}}=\frac{1}{2},$当且仅当x=1时,等号成立,故C错误；对于D,易知当x=−1时$,\frac{x}{1+x²}≤\frac{1}{2},$故D正确.]

(2) (多选) 已知命题 $p: \forall x \in [0, 1]$，不等式 $2x - 2 \geq m^2 - 3m$ 恒成立，命题 $q: \exists x \in [1, 3]$，不等式 $x^2 - ax + 4 \leq 0$，则下列说法正确的是(ACD)

A.命题 $p$ 的否定是“$\exists x \in [0, 1]$，不等式 $2x - 2 ＜ m^2 - 3m$”
B.命题 $q$ 的否定是“$\forall x \in [1, 3]$，不等式 $x^2 - ax + 4 \geq 0$”
C.当命题 $p$ 为真命题时，$1 \leq m \leq 2$
D.当命题 $q$ 为假命题时，$a ＜ 4$

答案：
(2)ACD [
(2)命题p的否定是“∃x∈[0,1],2x−2＜m²−3m”,故A正确；命题q的否定是“∀x∈[1,3],x²−ax+4＞0”,故B错误；若命题p为真命题,则当x∈[0,1]时,(2x−2)_min≥m²−3m,即m²−3m+2≤0,解得1≤m≤2,故C正确；若命题q为假命题,则∀x∈[1,3],不等式x²−ax+4＞0为真命题,即$a＜x+\frac{4}{x}$在x∈[1,3]时恒成立,因为$x+\frac{4}{x}≥2\sqrt{x·\frac{4}{x}}=4,$当且仅当$x=\frac{4}{x},$即x=2时取等号,所以a＜4,故D正确.]