《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例 1 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在$\triangle ABC$中，$A + B = 3C$，$2\sin(A - C) = \sin B$.
(1)求$\sin A$；
(2)设$AB = 5$，求$AB$边上的高.

答案：
(1)在△ABC中，A+B=π−C，因为A+B=3C，所以3C=π−C，所以C=$\frac{π}{4}$。因为2sin(A−C)=sinB，所以2sin(A−$\frac{π}{4}$)=sin($\frac{3π}{4}$−A)，展开并整理得$\sqrt{2}$(sinA−cosA)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$(cosA+sinA)，得sinA=3cosA。又sin²A+cos²A=1，且sinA＞0，所以sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
(2)由正弦定理，得BC=$\frac{AB}{sinC}$·sinA=$\frac{5}{\sqrt{2}}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=3$\sqrt{5}$。由余弦定理，得AB²=AC²+BC²−2AC·BCcosC，即5²=AC²+(3$\sqrt{5}$)²−2AC·3$\sqrt{5}$cos$\frac{π}{4}$，整理得AC²−3$\sqrt{10}$AC+20=0，解得AC=$\sqrt{10}$或AC=2$\sqrt{10}$。由
(1)得，tanA=3＞$\sqrt{3}$，所以$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，又A+B=$\frac{3π}{4}$，所以B＞$\frac{π}{4}$，即C＜B，所以AB＜AC，所以AC=2$\sqrt{10}$。设AB边上的高为h，则$\frac{1}{2}$·AB·h=$\frac{1}{2}$·AC·BCsinC，即5h=2$\sqrt{10}$×3$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得h=6，所以AB边上的高为6。

训练 1 设$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$\cos C=\frac{a - c\sin B}{b}$.
(1)求角$B$的大小；
(2)若边$AB$上的高为$\frac{c}{4}$，求$\cos C$的值.

答案：
(1)由余弦定理的推论得$\frac{a²+b²−c²}{2ab}$=$\frac{a−c\sin B}{b}$，所以a²+b²−c²=2a(a−csinB)，所以b²=a²+c²−2acsinB。又因为b²=a²+c²−2accosB，所以sinB=cosB，则tanB=1。因为B∈(0,π)，所以B=$\frac{π}{4}$。
(2)因为△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ac=$\frac{c²}{8}$，则a=$\frac{\sqrt{2}}{4}$c。由余弦定理得b²=a²+c²−2accosB=($\frac{\sqrt{2}}{4}$c)²+c²−2×$\frac{\sqrt{2}}{4}$c×c×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5}{8}$c²，所以b=$\frac{\sqrt{10}}{4}$c。所以cosC=$\frac{a−c\sin B}{b}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}c−\frac{\sqrt{2}}{2}c}{\frac{\sqrt{10}}{4}c}$=−$\frac{\sqrt{5}}{5}$。

例 2 记$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，已知$b\sin C=\sin C+\sqrt{3}\cos C$，$A=\frac{\pi}{3}$.
(1)求$c$.
(2)在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断$\triangle ABC$是否存在？若存在，求出$\triangle ABC$的面积；若不存在，说明理由.
①$BC$边上的中线长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，②$AB$边上的中线长为$\sqrt{7}$.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

答案：
(1)由bsinC=sinC+$\sqrt{3}$cosC及正弦定理，得csinB=2sin(C+$\frac{π}{3}$)。因为A=$\frac{π}{3}$，A+B+C=π，所以csinB=2sin(π−B)=2sinB，又sinB≠0，所以c=2。
(2)选①设BC边上的中线为AD，则AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BD=CD=$\frac{1}{2}$a。由cos∠ADB=−cos∠ADC及余弦定理的推论得，$\frac{AD²+BD²−AB²}{2AD·BD}$=−$\frac{AD²+CD²−AC²}{2AD·CD}$，即$\frac{1}{2}$+$\frac{a²}{4}$−4=−($\frac{1}{2}$+$\frac{a²}{4}$−b²)，化简得a²=2b²+6。由余弦定理，得a²=b²+c²−2bccos∠BAC，即a²=b²−2b+4，所以b²+2b+2=0，该方程无实数解，故符合条件的△ABC不存在。