《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 空间向量的有关概念

答案： 1. 大小　方向　相同　相等　相反　相等　平行　重合

2. 空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量 $a,b(b\neq 0)$，$a// b$ 的充要条件是存在实数 $\lambda$，使得.
(2)共面向量定理：如果两个向量 $a,b$ 不共线，那么向量 $p$ 与向量 $a,b$ 共面的充要条件是存在______的有序实数对 $(x,y)$，使 $p=$______.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量 $a,b,c$ 不共面，那么对任意一个空间向量 $p$，存在的有序实数组 $(x,y,z)$，使得 $p=$，其中，$\{a,b,c\}$ 叫做空间的一个基底.

答案： 2.
(1)$a = \lambda b$　
(2)唯一　$xa+yb$
(3)唯一　$xa + yb + zc$

3. 空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量 $a,b$，在空间任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA}=a,\overrightarrow{OB}=b$，则 $\angle AOB$ 叫做向量 $a$ 与 $b$ 的夹角，记作 $\langle a,b\rangle$，其范围是[0,$\pi$]，若 $\langle a,b\rangle =\frac{\pi}{2}$，则称 $a$ 与 $b$互相垂直，记作 $a\perp b$.
(2)两向量的数量积：已知两个非零向量 $a,b$，则 $|a||b|\cos\langle a,b\rangle$ 叫做 $a,b$ 的数量积，记作 $a\cdot b$，即 $a\cdot b=$$|a||b|\cos\langle a,b\rangle$.
(3)空间向量数量积的运算律
①结合律：$(\lambda a)\cdot b=\lambda (a\cdot b)$；
②交换律：$a\cdot b=b\cdot a$；
③分配律：$a\cdot (b + c)=a\cdot b + a\cdot c$.

答案： 3.
(1)[0,$\pi$]　互相垂直　
(2)$|a||b|\cos\langle a,b\rangle$

4. 空间向量的坐标表示及其应用
设 $a=(a_1,a_2,a_3),b=(b_1,b_2,b_3)$.

答案： 4.$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$　$a_1 = \lambda b_1,a_2 = \lambda b_2,a_3 = \lambda b_3$　$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$　$\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

5. 直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量 $a$ 的有向线段所在直线与直线 $l$平行或重合，则称此向量 $a$ 为直线 $l$ 的方向向量.
(2)平面的法向量：直线 $l\perp\alpha$，取直线 $l$ 的方向向量 $a$，则向量 $a$ 叫做平面 $\alpha$ 的法向量.

答案： 5.
(1)平行或重合

6. 空间位置关系的向量表示

答案： 6.$u_1 \cdot u_2 = 0$　$u \cdot n = 0$　$n_1 \cdot n_2 = 0$