《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 两条异面直线所成角的求法
(1) 几何法: 平移法.
(2) 向量法: 设异面直线 $ l_1 $, $ l_2 $ 所成的角为 $ \theta $, 其方向向量分别为 $ \boldsymbol{u} $, $ \boldsymbol{v} $, 则 $ \cos \theta = |\cos \langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \rangle| = $$\frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}$ = $\frac{|\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}$.

答案： 1.
(2)$\frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}$ $\frac{|\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}$

2. 直线和平面所成角的求法
(1) 几何法: 求直线与平面所成的角的关键是作出直线在平面上的射影, 常用方法是寻找经过此直线并与已知平面垂直的平面, 利用面面垂直的性质确定直线在平面上的射影.
(2) 向量法: 直线 $ AB $ 与平面 $ \alpha $ 相交于点 $ B $, 设直线 $ AB $ 与平面 $ \alpha $ 所成的角为 $ \theta $, 直线 $ AB $ 的方向向量为 $ \boldsymbol{u} $, 平面 $ \alpha $ 的法向量为 $ \boldsymbol{n} $, 则 $ \sin \theta = |\cos \langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{n} \rangle| = $$\frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}$ = $\frac{|\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}$.

答案： 2.
(2)$\frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}$ $\frac{|\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}$

3. 平面与平面的夹角
(1) 定义: 平面 $ \alpha $ 与平面 $ \beta $ 相交, 形成四个二面角, 我们把这四个二面角中不大于 $ 90° $ 的二面角称为平面 $ \alpha $ 与平面 $ \beta $ 的夹角.
(2) 两平面夹角的求法
① 几何法: 找到二面角的棱的一个垂面, 即可确定平面角(夹角与其相等或互补).
② 向量法: 设平面 $ \alpha $, $ \beta $ 的法向量分别是 $ \boldsymbol{n}_1 $, $ \boldsymbol{n}_2 $, 平面 $ \alpha $ 与平面 $ \beta $ 的夹角为 $ \theta $, 则 $ \cos \theta = |\cos \langle \boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2 \rangle| = $$\frac{\boldsymbol{n_{1}} \cdot \boldsymbol{n_{2}}}{|\boldsymbol{n_{1}}||\boldsymbol{n_{2}}|}$ = $\frac{|\boldsymbol{n_{1}} \cdot \boldsymbol{n_{2}}|}{|\boldsymbol{n_{1}}||\boldsymbol{n_{2}}|}$.

答案： 3.
(2)② $\frac{\boldsymbol{n_{1}} \cdot \boldsymbol{n_{2}}}{|\boldsymbol{n_{1}}||\boldsymbol{n_{2}}|}$ $\frac{|\boldsymbol{n_{1}} \cdot \boldsymbol{n_{2}}|}{|\boldsymbol{n_{1}}||\boldsymbol{n_{2}}|}$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角. ()
(2) 直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面所成的角. ()
(3) 两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角. ()
(4) 两异面直线所成角的范围是 $ \left( 0, \frac{\pi}{2} \right] $, 直线与平面所成角的范围是 $ \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] $, 二面角的范围是 $ [0, \pi] $, 两个平面夹角的范围是 $ \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] $. ()

答案： 1.
(1)×　
(2)×　
(3)×　
(4)√　[
(1)两直线的方向向量的夹角是两条直线所成的角或其补角;
(2)直线的方向向量$\boldsymbol{u}$,平面的法向量$\boldsymbol{n}$,直线与平面所成的角为$\theta$,则$\sin \theta =|\cos \langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{n}\rangle|$;　
(3)两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角或其补角.]

2. (苏教选修二 P35T1(2) 改编) 若平面 $ \alpha $, $ \beta $ 的法向量分别为 $ \boldsymbol{n}_1 = (2, -3, 5) $, $ \boldsymbol{n}_2 = (-3, 1, -4) $, 则 ()

A.$ \alpha // \beta $
B.$ \alpha \perp \beta $
C.$ \alpha $, $ \beta $ 相交但不垂直
D.以上均不正确

答案： 2.C[因为$\boldsymbol{n_{1}} \cdot \boldsymbol{n_{2}}=-6 - 3 - 20\neq 0$,所以$\boldsymbol{n_{1}}$与$\boldsymbol{n_{2}}$不垂直，故两个平面不垂直.　又$\boldsymbol{n_{1}}$与$\boldsymbol{n_{2}}$不共线,所以$\alpha$与$\beta$不平行,所以$\alpha$,$\beta$相交但不垂直.]

3. (苏教选修二 P35T1(2) 改编) 已知向量 $ \boldsymbol{m} $, $ \boldsymbol{n} $ 分别是直线 $ l $ 和平面 $ \alpha $ 的方向向量和法向量, 若 $ \cos \langle \boldsymbol{m}, \boldsymbol{n} \rangle = -\frac{1}{2} $, 则直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 所成的角为 ()

A.$ 30° $
B.$ 60° $
C.$ 120° $
D.$ 150° $

答案： 3.A[设直线$l$与平面$\alpha$所成的角为$\theta$,　则$\sin \theta =|\cos \langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle|=\frac{1}{2}$,　所以直线$l$与平面$\alpha$所成的角为$30^{\circ}$.]

4. 已知两平面的法向量分别为 $ \boldsymbol{m} = (0, 1, 0) $, $ \boldsymbol{n} = (0, 1, 1) $, 则两平面所成的二面角为 ()

A.$ \frac{\pi}{4} $
B.$ \frac{3\pi}{4} $
C.$ \frac{\pi}{4} $ 或 $ \frac{3\pi}{4} $
D.$ \frac{\pi}{2} $ 或 $ \frac{3\pi}{4} $

答案： 4.C[
∵$\boldsymbol{m}=(0,1,0)$,$\boldsymbol{n}=(0,1,1)$,
∴$\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}=1$,　若两平面所成的二面角为$\theta$,　则$|\cos \theta| = |\cos \langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle| = \frac{|\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴两平面所成的二面角为$\frac{\pi}{4}$或$\frac{3\pi}{4}$.]