《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例 2（2025·合肥质检）已知椭圆 $C$：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$ 的右焦点为 $F$，左顶点为 $A$，短轴长为 $2\sqrt{3}$，且经过点 $(1,\frac{3}{2})$.
(1)求椭圆 $C$ 的方程；
(2)过点 $F$ 的直线 $l$（不与 $x$ 轴重合）与 $C$ 交于 $P$，$Q$ 两点，直线 $AP$，$AQ$ 与直线 $x = 4$ 的交点分别为 $M$，$N$，记直线 $MF$，$NF$ 的斜率分别为 $k_{1}$，$k_{2}$，证明：$k_{1}\cdot k_{2}$ 为定值.

答案：
(1)解　因为$2b = 2\sqrt{3}$，所以$b = \sqrt{3}$，将$(1,\frac{3}{2})$代入$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1$得$\frac{1}{a^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{3}=1$，解得$a^{2}=4$，故椭圆$C$的方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$。
(2)证明　由
(1)可得$F(1,0)$，由题意可设$l$：$x = ty + 1$，设$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，由$\begin{cases}\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\\x = ty + 1\end{cases}$可得$(3t^{2}+4)y^{2}+6ty - 9 = 0$，易知$\Delta＞0$，所以$y_1 + y_2=\frac{-6t}{3t^{2}+4},y_1y_2=\frac{-9}{3t^{2}+4}$，因为$A(-2,0)$，所以直线$AP$的方程为$y=\frac{y_1}{x_1 + 2}(x + 2)$，令$x = 4$，则$y=\frac{6y_1}{x_1 + 2}$，故$M(4,\frac{6y_1}{x_1 + 2})$，同理可得$N(4,\frac{6y_2}{x_2 + 2})$。所以$k_1=\frac{\frac{6y_1}{x_1 + 2}}{4 - 1}=\frac{6y_1}{3(x_1 + 3)}$，$k_2=\frac{\frac{6y_2}{x_2 + 2}}{4 - 1}=\frac{6y_2}{3(x_2 + 3)}$，故$k_1k_2=\frac{36y_1y_2}{9(x_1 + 3)(x_2 + 3)}$
$=\frac{4y_1y_2}{t^{2}y_1y_2+3t(y_1 + y_2)+9}$
$=\frac{4×(-\frac{9}{3t^{2}+4})}{-\frac{9t^{2}}{3t^{2}+4}-\frac{18t^{2}}{3t^{2}+4}+9}$
$=\frac{-\frac{36}{3t^{2}+4}}{-\frac{27t^{2}}{3t^{2}+4}+9}$
$=\frac{-\frac{36}{3t^{2}+4}}{\frac{-27t^{2}+27t^{2}+36}{3t^{2}+4}}=-1$，得证。

已知椭圆 $C$：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$，$F_{2}$，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$，$B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $M$，若 $\vert F_{1}F_{2}\vert = 2$，$\triangle ABF_{2}$ 的周长为 $8$.
(1)求椭圆 $C$ 的标准方程；
(2)设 $\overrightarrow{MA}=\lambda\overrightarrow{F_{1}A}$，$\overrightarrow{MB}=\mu\overrightarrow{F_{1}B}$，试分析 $\lambda+\mu$ 是否为定值，若是，求出这个定值；否则，说明理由.

答案：
(1)解　因为$\triangle ABF_2$的周长为8，所以$4a = 8$，解得$a = 2$，由$\vert F_1F_2\vert=2$，得$2\sqrt{a^{2}-b^{2}}=2\sqrt{4 - b^{2}}=2$，所以$b^{2}=3$，因此椭圆$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$。
(2)由题意可知直线$l$的斜率存在，设直线$l$的方程为$y = k(x + 1)$，由$\begin{cases}y = k(x + 1)\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{cases}$，整理得$(3 + 4k^{2})x^{2}+8k^{2}x + 4k^{2}-12 = 0$，显然$\Delta＞0$，设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$\begin{cases}x_1 + x_2=\frac{-8k^{2}}{3 + 4k^{2}}\\x_1x_2=\frac{4k^{2}-12}{3 + 4k^{2}}\end{cases}$，设$M(0,k)$，又$F_1(-1,0)$，所以$\overrightarrow{MA}=(x_1,y_1 - k),\overrightarrow{F_1A}=(x_1 + 1,y_1)$，则$\lambda=\frac{x_1}{x_1 + 1}$，同理可得$\overrightarrow{MB}=(x_2,y_2 - k),\overrightarrow{F_1B}=(x_2 + 1,y_2)$，则$\mu=\frac{x_2}{x_2 + 1}$，所以$\lambda+\mu=\frac{x_1}{x_1 + 1}+\frac{x_2}{x_2 + 1}$
$=\frac{x_1(x_2 + 1)+x_2(x_1 + 1)}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)}$
$=\frac{2x_1x_2+x_1+x_2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}$
$=\frac{2×\frac{4k^{2}-12}{3 + 4k^{2}}-\frac{8k^{2}}{3 + 4k^{2}}}{\frac{4k^{2}-12}{3 + 4k^{2}}-\frac{8k^{2}}{3 + 4k^{2}}+1}$
$=\frac{\frac{8k^{2}-24 - 8k^{2}}{3 + 4k^{2}}}{\frac{4k^{2}-12 - 8k^{2}+3 + 4k^{2}}{3 + 4k^{2}}}$
$=\frac{-24}{-9}=\frac{8}{3}$，所以$\lambda+\mu$为定值$\frac{8}{3}$。