《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 小于$90^{\circ}$的角是锐角. (×)
(2) 锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角. (×)
(3) 角$\alpha$的三角函数值与其终边上点$P$的位置无关. (√)
(4) 若$\alpha$为第一象限角，则$\sin\alpha + \cos\alpha ＞ 1$. (√)

答案： 1.
(1)×　
(2)×　
(3)√　
(4)√　[
(1)锐角的取值范围是$(0,\frac{\pi}{2})$.　
(2)第一象限角不一定是锐角.]

2. (苏教必修一 P170 例 2 改编)已知$\alpha$是第一象限角，那么$\frac{\alpha}{2}$是(D)

A.第一象限角
B.第二象限角
C.第一或二象限角
D.第一或三象限角

答案： 2.D [易知$2k\pi＜\alpha＜\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in Z$,　故$k\pi＜\frac{\alpha}{2}＜\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in Z$,　所以$\frac{\alpha}{2}$是第一或第三象限角.]

3. (人教 A 必修一 P180T3 改编)已知角$\theta$的终边经过点$P(-12,5)$，则$\sin\theta + \cos\theta=$$-\frac{7}{13}$.

答案： 3.$-\frac{7}{13}$ [由三角函数的定义可得$\sin \theta+\cos \theta=\frac{-12}{\sqrt{(-12)^{2}+5^{2}}}+\frac{5}{\sqrt{(-12)^{2}+5^{2}}}=-\frac{7}{13}$.]

4. (北师大必修二 P12B 组 T2)在半径为$R$的圆中，$120^{\circ}$的圆心角所对的弧长为$\frac{2\pi}{3}R$，面积为$2R^{2}$的扇形的圆心角等于4弧度.

答案： 4.$\frac{2\pi}{3}R$ 4 [由弧长公式可得:$l = \mid \alpha \mid R=\frac{2\pi}{3}R$,由扇形面积公式得:$S=\frac{1}{2}\mid \alpha \mid R^{2}=2R^{2}$,$\therefore\mid \alpha \mid=\frac{2R^{2}}{\frac{1}{2}R^{2}}=4.$]

考点一 象限角及终边相同的角
例 1 (1)(多选)下列命题正确的是(AD)

A.终边落在$x$轴的非负半轴的角的集合为$\{\alpha\mid\alpha = 2k\pi,k\in \mathbf{Z}\}$
B.终边落在$y$轴上的角的集合为$\{\alpha\mid\alpha = 90^{\circ} + k\pi,k\in \mathbf{Z}\}$
C.第三象限角的集合为$\left\{\alpha\mid \pi + 2k\pi\leqslant\alpha\leqslant\frac{3\pi}{2} + 2k\pi,k\in \mathbf{Z}\right\}$
D.在$-720^{\circ}\sim 0^{\circ}$范围内所有与$45^{\circ}$角终边相同的角为$-675^{\circ}$和$-315^{\circ}$

答案： 例1
(1)AD[
(1)A项显然正确;B中,终边落在$y$轴上的角的集合为$\{\alpha \mid \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\}$,角度与弧度不能混用，故错误;C中,第三象限角的集合为$\{\alpha \mid \pi+2k\pi＜\alpha＜\frac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in Z\}$,故错误;D中，所有与$45^{\circ}$角终边相同的角可表示为$\beta = 45^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z$,令$-720^{\circ}\leq45^{\circ}+k\cdot360^{\circ}＜0^{\circ}(k\in Z)$,解得$-\frac{17}{8}\leq k＜-\frac{1}{8}(k\in Z)$,从而当$k = -2$时,$\beta = -675^{\circ}$;当$k = -1$时,$\beta = -315^{\circ}$,故正确.]

(2) 若$\alpha$是第二象限角，则(D)

A.$-\alpha$是第一象限角
B.$\frac{\alpha}{2}$是第三象限角
C.$\frac{3\pi}{2} + \alpha$是第二象限角
D.$2\alpha$是第三或第四象限角或终边在$y$轴非正半轴上的角

答案：
(2)D[
(2)因为$\alpha$是第二象限角,可得$\frac{\pi}{2}+2k\pi＜\alpha＜\pi+2k\pi,k\in Z$,对于A,可得$-\pi-2k\pi＜-\alpha＜-\frac{\pi}{2}-2k\pi,k\in Z$,此时$-\alpha$的终边在第三象限，所以$-\alpha$是第三象限角,A错误;对于B,可得$\frac{\pi}{4}+k\pi＜\frac{\alpha}{2}＜\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$,当$k$为偶数时,$\frac{\alpha}{2}$的终边在第一象限;当$k$为奇数时,$\frac{\alpha}{2}$的终边在第三象限，所以$\frac{\alpha}{2}$是第一或第三象限角,B错误;对于C,可得$2\pi+2k\pi＜\frac{3\pi}{2}+\alpha＜\frac{5\pi}{2}+2k\pi,k\in Z$,即$2(k + 1)\pi＜\frac{3\pi}{2}+\alpha＜\frac{\pi}{2}+2(k + 1)\pi,k\in Z$,所以$\frac{3\pi}{2}+\alpha$的终边在第一象限,所以$\frac{3\pi}{2}+\alpha$是第一象限角,C错误;对于D,可得$\pi+4k\pi＜2\alpha＜2\pi+4k\pi,k\in Z$,所以$2\alpha$是第三或第四象限角或终边在$y$轴非正半轴上的角,D正确]

(1) 集合$\left\{\alpha\mid k\pi + \frac{\pi}{4}\leqslant\alpha\leqslant k\pi + \frac{\pi}{2},k\in \mathbf{Z}\right\}$中的角所表示的范围(阴影部分)是(C)

答案： 训练1
(1)C　[
(1)当$k$取偶数时,比如$k = 0$,此时$-\frac{\pi}{4}\leq\alpha\leq\frac{\pi}{2}$,故角的终边在第一象限或$y$轴正半轴;当$k$取奇数时,比如$k = 1$,此时$\frac{5\pi}{4}\leq\alpha\leq\frac{3\pi}{2}$,故角的终边在第三象限或$y$轴的负半轴.综上,角的终边在第一象限或第三象限或$y$轴上.]

(2) 终边在直线$y = \sqrt{3}x$上，且在$[-2\pi,2\pi)$内的角$\alpha$的集合为$\{-\frac{5}{3}\pi,-\frac{2}{3}\pi,\frac{\pi}{3},\frac{4}{3}\pi\}$.

答案：
(2)$\{-\frac{5}{3}\pi,-\frac{2}{3}\pi,\frac{\pi}{3},\frac{4}{3}\pi\}$[
(2)在坐标系中画出直线$y=\sqrt{3}x$,可以发现它与$x$轴的夹角为$\frac{\pi}{3}$,在$[0,2\pi)$内，终边在直线$y=\sqrt{3}x$上的角有$\frac{\pi}{3}$和$\frac{4}{3}\pi$;在$[-2\pi,0)$内满足条件的角有$-\frac{2\pi}{3}$和$-\frac{5}{3}\pi$,故满足条件的角$\alpha$构成的集合为$\{-\frac{5}{3}\pi,-\frac{2}{3}\pi,\frac{\pi}{3},\frac{4}{3}\pi\}$.]