《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

(2)(2025·浙江名校联考)函数 $ f(x) = \ln(2x - 1) - x^2 + x $ 的单调递增区间是 (D)

A.$ (0,1) $
B.$ \left( \dfrac{1}{2},1 \right) $
C.$ \left[ \dfrac{1 - \sqrt{2}}{2}, \dfrac{1 + \sqrt{2}}{2} \right) $
D.$ \left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{1 + \sqrt{2}}{2} \right] $

答案：
(2)D [函数$f(x)=\ln(2x - 1)-x^{2}+x$的定义域为$(\frac{1}{2},+\infty).$
且$f^{\prime}(x)=\frac{2}{2x - 1}-2x + 1=\frac{2-(2x - 1)^{2}}{2x - 1}$
$=[\sqrt{2}-(2x - 1)][\sqrt{2}+(2x - 1)]\frac{2x - 1}{2x - 1}$
令$f^{\prime}(x)＞0,$解得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{1 + \sqrt{2}}{2}.$
所以f(x)的单调递增区间为$(\frac{1}{2},\frac{1 + \sqrt{2}}{2}).]$

(1)下列函数在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增的是 (B)

A.$ f(x) = \sin 2x $
B.$ f(x) = xe^x $
C.$ f(x) = x^3 - x $
D.$ f(x) = -x + \ln x $

答案：
(1)B [
(1)对于$A,f^{\prime}(x)=2\cos2x,$
$f^{\prime}(\frac{\pi}{3})=-1＜0,$不符合题意;
对于$B,f^{\prime}(x)=(x + 1)e^{x}＞0,$符合题意;
对于$C,f^{\prime}(x)=3x^{2}-1,f^{\prime}(\frac{1}{3})=-\frac{2}{3}＜0,$
不符合题意;
对于$D,f^{\prime}(x)=-1+\frac{1}{x},f^{\prime}(2)=-\frac{1}{2}＜0,$
不符合题意.]

(2)设 $ f(x) = 2x^2 - x^3 $,则 $ f(x) $ 的单调递减区间是 (D)

A.$ \left( 0, \dfrac{4}{3} \right) $
B.$ \left( \dfrac{4}{3}, +\infty \right) $
C.$ (-\infty, 0) $
D.$ (-\infty, 0) $ 和 $ \left( \dfrac{4}{3}, +\infty \right)$$$

答案：
(2)D [由$f(x)=2x^{2}-x^{3},$
得$f^{\prime}(x)=4x - 3x^{2}=x(4 - 3x),$
令$f^{\prime}(x)=0,$得x=0或$x=\frac{4}{3},$
$f^{\prime}(x),f(x)$的变化情况如表所示.
$x (-\infty,0) 0 (0,\frac{4}{3}) \frac{4}{3} (\frac{4}{3},+\infty)$
$f^{\prime}(x) - 0 + 0 -$
f(x) 单调递减 单调递增 单调递减
所以f(x)的单调递减区间是$(-\infty,0)$和$(\frac{4}{3},+\infty).]$

考点二 含参函数的单调性
例 2 已知函数 $ f(x) = 2ax^3 - 3(a + 1)x^2 + 6x + 1 $ ($ a \in \mathbf{R} $),试讨论函数 $ f(x) $ 的单调性.

答案： 例2 解 由题知$,f^{\prime}(x)=6ax^{2}-6(a + 1)x + 6$
=6(ax - 1)(x - 1),
若a＜0,当x＜\frac{1}{a}或x＞1时,
$f^{\prime}(x)$＜0,当\frac{1}{a}＜x＜1时,f^{\prime}(x)＞0,
$\therefore f(x)$在区间$(-\infty,\frac{1}{a})$和$(1,+\infty)$上单调递
减,在区间$(\frac{1}{a},1)$上单调递增;
若a=0时,当x＜1时,f^{\prime}(x)＞0,
当x＞1时$,f^{\prime}(x)＜0,$
$\therefore f(x)$在区间$(-\infty,1)$上单调递增,
在区间$(1,+\infty)$上单调递减;
若0＜a＜1,当x＜\frac{1}{a}或x＞1时$,f^{\prime}(x)＞0,$
当$\frac{1}{a}＜x＜1$时$,f^{\prime}(x)＜0,$
$\therefore f(x)$在区间$(-\infty,\frac{1}{a})$和$(1,+\infty)$上单调
递增,在区间$(\frac{1}{a},1)$上单调递减.
综上所述,当a＜0时,
f(x)在区间$(-\infty,\frac{1}{a})$和$(1,+\infty)$上单调递减,
在区间$(\frac{1}{a},1)$上单调递增;
当a=0时,f(x)在区间$(-\infty,1)$上单调递增,
在区间$(1,+\infty)$上单调递减;
当0＜a＜1时,f(x)在区间$(-\infty,1)$和
$(\frac{1}{a},+\infty)$上单调递增,
在区间$(1,\frac{1}{a})$上单调递减;
当a=1时,f(x)在区间$(-\infty,+\infty)$上单调
递增;
当a＞1时,f(x)在区间$(-\infty,\frac{1}{a})$和
$(1,+\infty)$上单调递增,
在区间$(\frac{1}{a},1)$上单调递减.

(2021·全国乙卷节选)讨论函数 $ f(x) = x^3 - x^2 + ax + 1 $ 的单调性.

答案： 训练2 解 由题意知f(x)的定义域为$\mathbf{R},$
$f^{\prime}(x)=3x^{2}-2x + a,$
对于$f^{\prime}(x)=0,$
$\Delta=(-2)^{2}-4×3a=4(1 - 3a).$
①当$a\geq\frac{1}{3}$时$,f^{\prime}(x)\geq0,f(x)$在$\mathbf{R}$上单调
递增;
②当a＜\frac{1}{3}时,令$f^{\prime}(x)=0,$
即$3x^{2}-2x + a=0,$
解得$x_{1}=\frac{1-\sqrt{1 - 3a}}{3},x_{2}=\frac{1+\sqrt{1 - 3a}}{3}$
令$f^{\prime}(x)＞0,$则x＜x_{1}或x＞$x_{2};$
令$f^{\prime}(x)＜0,$则$x_{1}＜x＜x_{2}.$
所以f(x)在$(-\infty,x_{1}),(x_{2},+\infty)$上单调递
增,在$(x_{1},x_{2})$上单调递减.
综上,当$a\geq\frac{1}{3}$时,f(x)在$\mathbf{R}$上单调递增;
当a＜\frac{1}{3}时,f(x)在$(-\infty,\frac{1-\sqrt{1 - 3a}}{3}),$
$(\frac{1+\sqrt{1 - 3a}}{3},+\infty)$上单调递增,
在$(\frac{1-\sqrt{1 - 3a}}{3},\frac{1+\sqrt{1 - 3a}}{3})$上单调递减.