《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例 3 (2025·衡阳质检)如图是一座山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为 $ 1 \, km $，峰底 $ A $ 到峰顶 $ S $ 的距离为 $ 4 \, km $，$ B $ 是山坡 $ SA $ 的中点. 为了发展当地旅游业，现要建设一条从 $ A $ 到 $ B $ 的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为 (D)

A.$ 2 \, km $
B.$ 3 \, km $
C.$ 2\sqrt{5} \, km $
D.$ \frac{4\sqrt{5}}{5} \, km$$$

答案：
例3 D [将圆锥的侧面沿$SA$展开,可得其侧面展开图如图.
　　　　　
则从点$A$到点$B$的环山观光公路最短为线段$A'B$,设$A'A$的长度为$l$,则$l = 2\pi km$,
所以$\angle A'SA = \frac{l}{4} = \frac{\pi}{2}$.
过$S$作$SP \perp A'B$于点$P$,则公路距山顶的最近距离为$SP$的长,
因为$BA' = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{5}(km)$,
所以$SP = \frac{SB \cdot SA'}{BA'} = \frac{8}{2\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}(km)$.]

(1) (2024·枣庄调研)给出下列四个命题，正确的是 (D)

A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱
B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱

答案：

(1)D [
(1)对于$A$,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故A错；对于$B$,等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图),故B错；对于$C$,若底面不是矩形,则C错；对于$D$,可知侧棱垂直于底面,故D正确.
　　　　　　　　　

(2) 如图，$ \triangle A'O'B' $ 是水平放置的 $ \triangle AOB $ 的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知 $ O' $ 为坐标原点，顶点 $ A' $，$ B' $ 均在坐标轴上，且 $ \triangle AOB $ 的面积为 $ 12 $，则 $ O'B' $ 的长度为 (B)


A.1
B.2
C.3
D.4

答案：

(2)B
(2)法一　如图,画出$\triangle AOB$的原图,为直角三角形,且$OA = O'A' = 6$,
因为$\frac{1}{2}OB \cdot OA = 12$,所以$OB = 4$,
所以$O'B' = \frac{1}{2}OB = 2$.
　　　　　　　　　　　
法二　$S_{直观图} = \frac{\sqrt{2}}{4}S_{原图形} = 3\sqrt{2}$,
又$S_{直观图} = \frac{1}{2}O'A' \cdot O'B' \cdot \sin \angle A'O'B'$,
所以$O'B' = 2$.

(3) 扇面是中国书画作品的一种重要表现形式. 一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为 $ 27 $，$ 12 $ 的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为 $ \frac{2\pi}{3} $. 若某几何体的侧面展开图恰好与圆中扇面的形状、大小一致，则该几何体的高为 (C)


A.15
B.$ \sqrt{233} $
C.$ 10\sqrt{2} $
D.12

答案：
(3)C
(3)由题意得，该几何体是圆台.
取一个圆锥，其侧面展开图是半径为$27$,圆心角为$\frac{2\pi}{3}$的扇形，设该圆锥的底面半径为$r$,则$2\pi r = \frac{2\pi}{3} × 27$,解得$r = 9$,
所以该圆锥的高$h_1 = \sqrt{27^{2} - 9^{2}} = 18\sqrt{2}$.
同理可得,侧面展开图是半径为$12$,圆心角为$\frac{2\pi}{3}$的扇形的圆锥的高$h_2 = 8\sqrt{2}$,
所以所求几何体,即圆台的高$h = h_1 - h_2 = 18\sqrt{2} - 8\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.