《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例 1 若动圆与两定圆 $(x + 5)^2 + y^2 = 1$ 和 $(x - 5)^2 + y^2 = 49$ 都外切，则动圆圆心的轨迹方程是__________。

答案： 例1 $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1(x\leq-3)$
[设圆$C_1$为$(x + 5)^{2}+y^{2}=1$，
可得圆心$C_1(-5,0)$，半径$r_1 = 1$，
设圆$C_2$为$(x - 5)^{2}+y^{2}=49$，
可得圆心$C_2(5,0)$，半径$r_2 = 7$，且$\vert C_1C_2\vert=10$。
设动圆圆心为$C$，半径为$r$，
因为动圆$C$同时与圆$C_1$和圆$C_2$外切，
所以$\vert CC_1\vert=r + 1$，$\vert CC_2\vert=7 + r$，
所以$\vert CC_2\vert-\vert CC_1\vert=6＜\vert C_1C_2\vert=10$，
所以点$C$的轨迹是以$C_1(-5,0)$，$C_2(5,0)$为焦点的双曲线的左支，
所以$a = 3$，$c = 5$，$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{16}=4$，
所以动圆的圆心$C$的轨迹方程为
$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1(x\leq-3)$。]

训练 1 (2025·佛山质检)若点 $ P(x,y) $ 满足方程 $\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2} = \frac{|3x + 4y + 12|}{5}$，则点 $ P $ 的轨迹是(D)

A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线

答案： 训练1 D [等式左侧表示点$P(x,y)$与点$(1,2)$间的距离，等式右侧表示$P(x,y)$到直线$3x + 4y + 12 = 0$的距离，
整个式子表示点$P(x,y)$到点$(1,2)$的距离和到直线$3x + 4y + 12 = 0$的距离相等，且点$(1,2)$不在直线$3x + 4y + 12 = 0$上，
所以点$P$轨迹为抛物线。]

例 2 (2025·南宁模拟)已知点 $ A(-2,0) $，$ B(2,0) $，直线 $ PA $ 的斜率为 $ k_1 $，直线 $ PB $ 的斜率为 $ k_2 $，若 $ k_2 - k_1 = 1 $，则点 $ P $ 的轨迹为不包含 $ A $，$ B $ 两点的(D)

A.直线
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线

答案： 例2 D [设$P(x,y)$，其中$x\neq\pm2,y\neq0$，
则$\frac{y}{x - 2}-\frac{y}{x + 2}=1$，
即$\frac{y(x + 2)-y(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}=\frac{4y}{x^{2}-4}=1$，
所以$y=\frac{1}{4}x^{2}-1(x\neq\pm2,y\neq0)$，所以点$P$的轨迹为不包含$A$，$B$两点的抛物线]

训练 2 已知 $ M(-2,0) $，$ N(2,0) $，点 $ P $ 满足 $\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{PN} = 12$，则点 $ P $ 的轨迹方程为(B)

A.$\frac{x^2}{16} + y^2 = 1$
B.$x^2 + y^2 = 16$
C.$y^2 - x^2 = 8$
D.$x^2 + y^2 = 8$

答案： 训练2 B [设$P(x,y)$，
则$PM=(-2 - x,-y)$，$PN=(2 - x,-y)$，
因为$PM\cdot PN = 12$，所以$x^{2}-4 + y^{2}=12$，
即$x^{2}+y^{2}=16$。]