《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

(1)(2025·南京、盐城模拟)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长$a$与公转周期$T$有如下关系：$T = \frac{2\pi}{\sqrt{GM}} \cdot a^{\frac{3}{2}}$，其中$M$为太阳质量，$G$为引力常量. 已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的 (B)

A.2倍
B.4倍
C.6倍
D.8倍

答案： 训练2
(1)B [
(1)设火星的公转周期为$T_{1}$,椭圆轨道的长半轴长为$a_{1}$,水星的公转周期为$T_{2}$,椭圆轨道的长半轴长为$a_{2}$,$T_{1} = \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}a_{1}^{\frac{3}{2}}$, ①则$T_{1} = 8T_{2}$,且$T_{2} = \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}a_{2}^{\frac{3}{2}}$, ②①②得$\frac{T_{1}}{T_{2}} = (\frac{a_{1}}{a_{2}})^{\frac{3}{2}} = 8$,所以$\frac{a_{1}}{a_{2}} = 4$,即$a_{1} = 4a_{2}$.

(2)香农-威纳指数$(H)$是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数，其计算公式是$H = -\sum_{i = 1}^{n} p_i \cdot \log_2 p_i$，其中$n$是该群落中生物的种数，$p_i$为第$i$个物种在群落中的比例，下表为某个只有甲、乙、丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表，根据表中数据，该群落的香农-威纳指数值为 (A)


A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$-\frac{3}{2}$
D.$-\frac{3}{4}$

答案：
(2)A [
(2)由题意知$H = -(\frac{300}{600} × \log_{2}\frac{300}{600} + \frac{150}{600} × \log_{2}\frac{150}{600} + \frac{150}{600} × \log_{2}\frac{150}{600}) = - (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$.故选A.]

考点三 构建函数模型解决实际问题
例3 李冶（1192—1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：如求圆的直径、正方形的边长等. 其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为$y$亩，若方田的四边到水池的最近距离均为20步，则$y$关于水池半径$r$（步）的函数关系式为$y =$______，水池的边缘与方田之间的面积与水池半径比值最小时，$r =$______（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）.

答案： 例3 $\frac{1}{240}r^{2} + \frac{2}{3}r + \frac{20}{3}$ 40 [已知水池的半径为$r$步,则方田的边长为$(2r + 40)$步,由题意得,$(2r + 40)^{2} - 3r^{2} = y × 240$.展开得$4r^{2} + 160r + 1600 - 3r^{2} = 240y$,即$r^{2} + 160r + 1600 = 240y$,得$y = \frac{1}{240}r^{2} + \frac{2}{3}r + \frac{20}{3}$.$\frac{y}{r} = \frac{r}{240} + \frac{20}{3r} + \frac{2}{3} \geq 2\sqrt{\frac{r}{240} × \frac{20}{3r}} + \frac{2}{3} = 2\sqrt{\frac{1}{36}} + \frac{2}{3} = 2 × \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$,当且仅当$\frac{r}{240} = \frac{20}{3r}$,即$r^{2} = 1600$,$r = 40$取等号.]

某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入. 若该公司2023年全年投入研发资金160万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：$\lg 1.1 \approx 0.04$，$\lg 2 \approx 0.30$) (C)

A.2024年
B.2025年
C.2026年
D.2027年

答案： 训练3 C [设$x$年后,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,则$160(1 + 10\%)^{x} ＞ 200$,即$1.1^{x} ＞ \frac{200}{160} = 1.25$.取常用对数得$x\lg 1.1 ＞ \lg 1.25$,$x ＞ \frac{\lg 1.25}{\lg 1.1} = \frac{\lg \frac{5}{4}}{\lg 1.1} = \frac{\lg 5 - \lg 4}{\lg 1.1} = \frac{(1 - \lg 2) - 2\lg 2}{\lg 1.1} = \frac{1 - 3\lg 2}{\lg 1.1} \approx \frac{1 - 3 × 0.30}{0.04} = \frac{0.1}{0.04} = 2.5$,故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2026年.]