《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

(1)(多选)下列命题中正确的是(AC)

A.若$p = xa + yb$，则$p$与$a$，$b$共面
B.若$p$与$a$，$b$共面，则存在实数$x$，$y$使得$p = xa + yb$
C.若$\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$，则$P$，$M$，$A$，$B$共面
D.若$P$，$M$，$A$，$B$共面，则存在实数$x$，$y$使得$\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$

答案：
(1)AC [
(1)对于 B，若 a, b 共线，p 与 a, b 不共线，则不存在实数 x, y 使得 p = xa + yb，故 B 错误；对于 D，若 M, A, B 共线，P 在直线 AB 外，则不存在实数 x, y 使得$\overrightarrow{MP} = x\overrightarrow{MA} + y\overrightarrow{MB}$，故 D 错误；由平面向量基本定理知 A, C 正确.

(2)(2025·南通、如皋诊断)已知$\triangle ABC$的边$BC$的中点为$D$，点$E$在$\triangle ABC$所在平面内，且$\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CE}-2\overrightarrow{CA}$. 若$\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{BE}$，则$x + y =$(D)

A.5
B.7
C.9
D.11

答案：
(2)D [
(2)$\overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{CE} - 2\overrightarrow{CA}$，D 为 BC 的中点，$\therefore \overrightarrow{CE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CA} = -\frac{1}{6}\overrightarrow{BC} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
$\because \overrightarrow{AC} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{BE}$，$\therefore \overrightarrow{BE} = \frac{1}{y}\overrightarrow{AC} - \frac{x}{y}\overrightarrow{AB}$，$\therefore \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BE} - \overrightarrow{CE} = (\frac{1}{y} + \frac{2}{3})\overrightarrow{AC} - \frac{x}{y}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$，$\therefore \frac{5}{6}\overrightarrow{BC} = (\frac{1}{y} + \frac{2}{3})\overrightarrow{AC} - \frac{x}{y}\overrightarrow{AB}$，即$\frac{5}{6}\overrightarrow{AC} - \frac{5}{6}\overrightarrow{AB} = (\frac{1}{y} + \frac{2}{3})\overrightarrow{AC} - \frac{x}{y}\overrightarrow{AB}$，由平面向量基本定理知，$\begin{cases} \frac{5}{6} = \frac{1}{y} + \frac{2}{3} \\ -\frac{5}{6} = -\frac{x}{y} \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = 5 \\ y = 6 \end{cases}$，$\therefore x + y = 11$.]

考点二平面向量的坐标运算
例 2 (1)(2025·雅安诊断)已知$D$，$E$分别为$\triangle ABC$的边$AB$，$AC$的中点，若$\overrightarrow{DE}=(3,4)$，$B(-2,-3)$，则点$C$的坐标为(A)

A.$(4,5)$
B.$(1,1)$
C.$(-5,-7)$
D.$(-8,-11)$

答案：
(1)A [
(1)因为 D, E 分别为 AB, AC 的中点，所以$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{DE} = (6, 8)$，设 C(x, y)，又 B(-2, -3)，所以$(x + 2, y + 3) = (6, 8)$，即$\begin{cases} x + 2 = 6 \\ y + 3 = 8 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = 4 \\ y = 5 \end{cases}$.

(2)如图，在直角梯形$ABCD$中，$AB// DC$，$AD\perp DC$，$AD = DC = 2AB$，$E$为$AD$的中点，若$\overrightarrow{CA}=\lambda\overrightarrow{CE}+\mu\overrightarrow{DB}(\lambda,\mu\in\mathbf{R})$，则$\lambda + \mu$的值为________.

答案：

(2)$\frac{8}{5}$
[
(2)建立如图所示的平面直角坐标系，
则 D(0, 0).
不妨设 AB = 1，
　　　　　　　　　
则 CD = AD = 2，
$\therefore$C(2, 0)，A(0, 2)，B(1, 2)，E(0, 1)，
$\therefore \overrightarrow{CA} = (-2, 2)$，$\overrightarrow{CE} = (-2, 1)$，$\overrightarrow{DB} = (1, 2)$，
$\because \overrightarrow{CA} = \lambda\overrightarrow{CE} + \mu\overrightarrow{DB}$，
$\therefore (-2, 2) = \lambda(-2, 1) + \mu(1, 2)$，
$\therefore \begin{cases} -2\lambda + \mu = -2 \\ \lambda + 2\mu = 2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} \lambda = \frac{6}{5} \\ \mu = \frac{2}{5} \end{cases}$，
故$\lambda + \mu = \frac{8}{5}$.]

(1)(多选)(2025·亳州调研)已知向量$a$，$b$，$c$满足$c=\lambda a+(1-\lambda)b(0\lt\lambda\lt1)$，且$c=(1,2)$，则$a$，$b$的坐标可以为(BC)

A.$a=(1,0)$，$b=(0,2)$
B.$a=(2,0)$，$b=(0,4)$
C.$a=(3,1)$，$b=(-1,3)$
D.$a=(2,1)$，$b=(4,-1)$

答案：
(1)BC [
(1)设$\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC} = \boldsymbol{c}$，O 为坐标原点，则由$\boldsymbol{c} = \lambda\boldsymbol{a} + (1 - \lambda)\boldsymbol{b} (0 ＜ \lambda ＜ 1)$可知，A, B, C 三点共线，且 C 在 A, B 两点之间.选项 A，$\overrightarrow{AB} = (-1, 2)$，$\overrightarrow{AC} = (0, 2)$，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$不平行，A 错误；选项 B，$\overrightarrow{AB} = (-2, 4)$，$\overrightarrow{AC} = (-1, 2)$，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$平行，且 C 在 A, B 两点之间，B 正确；选项 C，$\overrightarrow{AB} = (-4, 2)$，$\overrightarrow{AC} = (-2, 1)$，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$平行，且 C 在 A, B 两点之间，C 正确；选项 D，$\overrightarrow{AB} = (2, -2)$，$\overrightarrow{AC} = (-1, 1)$，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$平行，但 C 不在 A, B 两点之间，D 错误.

(2)已知向量$a$，$b$，$c$在正方形网格中的位置如图所示，用基底$\{a,b\}$表示$c$，则(D)


A.$c = 2a - 3b$
B.$c = -2a - 3b$
C.$c = -3a + 2b$
D.$c = 3a - 2b$

答案：

(2)D [
(2)如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为 1，
　　　
则 A(1, 0)，B(2, 1)，C(0, 4)，D(7, 1)，
所以$\boldsymbol{a} = (1, 1)$，$\boldsymbol{b} = (-2, 3)$，$\boldsymbol{c} = (7, -3)$，
设向量$\boldsymbol{c} = m\boldsymbol{a} + n\boldsymbol{b}$，
则$\boldsymbol{c} = m\boldsymbol{a} + n\boldsymbol{b} = (m - 2n, m + 3n) = (7, -3)$，
则$\begin{cases} m - 2n = 7 \\ m + 3n = -3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m = 3 \\ n = -2 \end{cases}$，
所以$\boldsymbol{c} = 3\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}$，故选 D.]

考点三平面向量共线的坐标表示
角度 1 利用向量共线求参数
例 3 (2025·杭州调研)已知平面向量$a=(2,0)$，$b=(-1,1)$，且$(ma - b)//(a + b)$，则$m =$(A)

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$

答案： A [法一 平面向量$\boldsymbol{a} = (2, 0)$，$\boldsymbol{b} = (-1, 1)$，则$m\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (2m, 0) - (-1, 1) = (2m + 1, -1)$，$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (1, 1)$，$(m\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) // (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})$，则$(2m + 1) × 1 - (-1) × 1 = 0$，解得$m = -1$.$\therefore \boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$不共线，要使得$(m\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) // (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})$，则只需$\frac{m}{1} = \frac{-1}{1}$，即$m = -1$.]

角度 2 利用向量共线求向量或点的坐标
例 4 在$\triangle ABC$中，已知点$O(0,0)$，$A(0,5)$，$B(4,3)$，$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$，$AD$与$BC$交于点$M$，则点$M$的坐标为________.

答案： 例4 ($\frac{12}{7}$, 2) [因为点 O(0, 0)，A(0, 5)，B(4, 3)，所以点 C(0, $\frac{5}{4}$)，同理点 D(2, $\frac{3}{2}$).设 M 的坐标为(x, y)，则$\overrightarrow{AM} = (x, y - 5)$，而$\overrightarrow{AD} = (2, -\frac{7}{2})$.因为 A, M, D 三点共线，所以$\overrightarrow{AM}$与$\overrightarrow{AD}$共线，所以$-\frac{7}{2}x - 2(y - 5) = 0$，即$7x + 4y = 20$.而$\overrightarrow{CM} = (x, y - \frac{5}{4})$，$\overrightarrow{CB} = (4 - 0, 3 - \frac{5}{4}) = (4, \frac{7}{4})$，因为 C, M, B 三点共线，所以$\overrightarrow{CM}$与$\overrightarrow{CB}$共线，所以$\frac{7}{4}x - 4(y - \frac{5}{4}) = 0$，即$7x - 16y = -20$.由$\begin{cases} 7x + 4y = 20 \\ 7x - 16y = -20 \end{cases}$，得$\begin{cases} x = \frac{12}{7} \\ y = 2 \end{cases}$，所以点 M 的坐标为($\frac{12}{7}$, 2).]

(1)设点$A(2,0)$，$B(4,2)$，若点$P$在直线$AB$上，且$|\overrightarrow{AB}| = 2|\overrightarrow{AP}|$，则点$P$的坐标为(C)

A.$(3,1)$
B.$(1,-1)$
C.$(3,1)$或$(1,-1)$
D.$(3,1)$或$(1,1)$

答案：
(1)C [
(1)$\because$A(2, 0)，B(4, 2)，$\therefore \overrightarrow{AB} = (2, 2)$.
$\because$点 P 在直线 AB 上，且$|\overrightarrow{AB}| = 2|\overrightarrow{AP}|$，
$\therefore \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AP}$或$\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{AP}$，
故$\overrightarrow{AP} = (1, 1)$或$\overrightarrow{AP} = (-1, -1)$，
故 P 点坐标为(3, 1)或(1, -1).

(2)已知向量$a=(2,1)$，$b=(1,k)$. 若$(a + 2b)// ka$，则实数$k =$________.

答案：
(2)0 或$\frac{1}{2}$
[
(2)$\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b} = (4, 1 + 2k)$，$k\boldsymbol{a} = (2k, k)$，
若$(\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) // k\boldsymbol{a}$，则$(1 + 2k) \cdot 2k - 4k = 0$，
解得$k = 0$或$k = \frac{1}{2}$.]