《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 等比数列基本量的求解
例1 (1)(多选)(2025·河南部分名校联考)设等比数列$\{a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$，且$S_{n} = 2^{n + 1} + a$(a为常数)，则(BC)

A.a = -1
B.数列$\{a_{n}\}$的公比为2
C.$a_{n} = 2^{n}$
D.$S_{9} = 1023$

答案：
(1)BC [
(1)因为$S_{n}=2^{n+1}+a$,所以$a_{1}=4+a$, $a_{2}=S_{2}-S_{1}=4,a_{3}=S_{3}-S_{2}=8$. 因为$\{a_{n}\}$是等比数列,所以$a_{2}^{2}=a_{1}a_{3}$, 即$4^{2}=8(4+a)$,解得$a=-2$,则$A$错误; 数列$\{a_{n}\}$的公比$q=\frac{a_{3}}{a_{2}}=2$,则$B$正确; 因为$a_{1}=2$,公比$q=2$,所以$a_{n}=a_{1}q^{n-1}=2^{n}$, 则$C$正确; 因为$a=-2$,所以$S_{n}=2^{n+1}-2$, 所以$S_{9}=2^{10}-2=1022$,则$D$错误.]

(2)(多选)(2025·长沙模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是(ACD)

A.此人第二天走了九十六里路
B.此人第三天走的路程占全程的$\frac{1}{8}$
C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D.此人后三天共走了四十二里路

答案：
(2)ACD [
(2)设此人第$n$天走$a_{n}$里路,则数列$\{a_{n}\}$是首项为$a_{1}$,公比为$\frac{1}{2}$的等比数列. 因为$S_{6}=378$, 所以$\frac{a_{1}\left(1-\frac{1}{2^{6}}\right)}{1-\frac{1}{2}}=378$, 解得$a_{1}=192$. 对于$A$,由于$a_{2}=192×\frac{1}{2}=96$,所以此人第二天走了九十六里路,所以$A$正确; 对于$B$,由于$a_{3}=192×\frac{1}{4}=48$,全程的$\frac{1}{8}$为$378×\frac{1}{8}=47.25$,$48\neq47.25$,所以$B$不正确; 对于$C$,由于后五天路程为$378-192=186$,$192-186=6$,所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里,所以$C$正确; 对于$D$,$a_{4}+a_{5}+a_{6}=378-192-96-48=42$,所以此人后三天共走了四十二里路,所以$D$正确.]

(3)(2025·淄博模拟)已知等比数列$\{a_{n}\}$共有2n + 1项，$a_{1} = 1$，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比q =______.

答案：
(3)2 [
(3)依题意,知$a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots+a_{2n+1}=85$, 即$a_{1}+q(a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2n})=85$, 而$a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2n}=42$,所以$1 + 42q=85$,解得$q=2$.]

(2024·全国甲卷)已知等比数列$\{a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$，且$2S_{n} = 3a_{n + 1} - 3$.
(1)求$\{a_{n}\}$的通项公式；
(2)求数列$\{S_{n}\}$的前n项和.

答案： 解
(1)因为$2S_{n}=3a_{n+1}-3$, 所以$2S_{n+1}=3a_{n+2}-3$, 两式相减可得$2a_{n+1}=3a_{n+2}-3a_{n+1}$, 即$a_{n+2}=\frac{5}{3}a_{n+1}$. 所以等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$\frac{5}{3}$. 因为$2S_{1}=3a_{2}-3=5a_{1}-3$, 所以$a_{1}=1$, 故$a_{n}=\left(\frac{5}{3}\right)^{n-1}$.
(2)因为$2S_{n}=3a_{n+1}-3$, 所以$S_{n}=\frac{3}{2}(a_{n+1}-1)=\frac{3}{2}\left[\left(\frac{5}{3}\right)^{n}-1\right]$. 设数列$\{S_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$, 则$T_{n}=\frac{3}{2}×\frac{\frac{5}{3}\left[1-\left(\frac{5}{3}\right)^{n}\right]}{1-\frac{5}{3}}-\frac{3}{2}n=\frac{15}{4}\left(\frac{5}{3}\right)^{n}-\frac{15}{4}-\frac{3}{2}n$.

考点二 等比数列的判定与证明
例2 (2025·1月八省联考节选)已知数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1} = 3$，$a_{n + 1} =\frac{3a_{n}}{a_{n} + 2}$.
(1)证明：数列$\{1 - \frac{1}{a_{n}}\}$为等比数列；
(2)求$\{a_{n}\}$的通项公式.

答案：
(1)证明 因为$a_{n+1}=\frac{3a_{n}}{a_{n}+2}$, 所以$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_{n}+2}{3a_{n}}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3a_{n}}$, 所以$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{3}\right)$, 即$1-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{a_{n}}\right)$, 又因为$1-\frac{1}{a_{1}}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$, 所以数列$\left\{1-\frac{1}{a_{n}}\right\}$是以$\frac{2}{3}$为首项,$\frac{2}{3}$为公比的等比数列.
(2)解 由
(1)知,$1-\frac{1}{a_{n}}=\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$, 所以$\frac{1}{a_{n}}=1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=\frac{3^{n}-2^{n}}{3^{n}}$, 所以$a_{n}=\frac{3^{n}}{3^{n}-2^{n}}$.