《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

角度 3 一般弦
例 4 (2025·杭州调研)已知顶点在原点，关于 $ y $ 轴对称的抛物线与直线 $ x - 2y = 1 $ 交于 $ P $，$ Q $ 两点，若 $ |PQ| = \sqrt{15} $，则抛物线的方程为 ()

A.$ x^{2} = -4y $
B.$ x^{2} = 12y $
C.$ x^{2} = -4y $ 或 $ x^{2} = 12y $
D.以上都不是

答案： 例4$C$ [设抛物线的方程为$x^{2} = 2ay$，联立直线方程得$x^{2} - ax + a = 0$，由弦长公式解得$a = -2$或$a = 6$，所以抛物线方程为$x^{2} = -4y$或$x^{2} = 12y$。]

训练 2 (1)已知斜率为 $ 2 $ 的直线经过椭圆 $ \frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4} = 1 $ 的右焦点 $ F $，且与椭圆相交于 $ A $，$ B $ 两点，则弦 $ AB $ 的长为$\frac{5\sqrt{5}}{3}$.

答案： 训练2
(1)$\frac{5\sqrt{5}}{3}$ [直线$AB$的方程为$y = 2(x - 1)$，联立椭圆方程得$3x^{2} - 5x = 0$，由弦长公式得$|AB| = \frac{5\sqrt{5}}{3}$。]

(2)已知抛物线 $ C:y^{2} = 2px(p ＞ 0) $ 的焦点到准线的距离为 $ 1 $，若抛物线 $ C $ 上存在关于直线 $ l:x - y - 2 = 0 $ 对称的不同的两点 $ P $ 和 $ Q $，则线段 $ PQ $ 的中点坐标为$(1,-1)$.

答案：
(2)$(1,-1)$ [焦点到准线的距离为$p = 1$，$y^{2} = 2x$，由点差法得$k_{PQ} = -1$，中点纵坐标为$-1$，代入直线$l$得横坐标为$1$，中点坐标为$(1,-1)$。]

考点三 直线与圆锥曲线的综合
例 5 (2025·昆明质检)已知双曲线 $ C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0) $ 的两个焦点分别为 $ F_{1}(-2,0) $，$ F_{2}(2,0) $，点 $ P(5,\sqrt{23}) $ 在双曲线 $ C $ 上.
(1)求双曲线 $ C $ 的方程；
(2)记 $ O $ 为坐标原点，过点 $ Q(0,2) $ 的直线 $ l $ 与双曲线 $ C $ 交于不同的两点 $ A $，$ B $，若 $ \triangle OAB $ 的面积为 $ 2\sqrt{2} $，求直线 $ l $ 的方程.

答案： 例5
(1)双曲线$C$的方程为$\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$；
(2)直线$l$的方程为$y = \sqrt{2}x + 2$和$y = -\sqrt{2}x + 2$。

训练 3 已知抛物线 $ C:y^{2} = 3x $ 的焦点为 $ F $，斜率为 $ \frac{3}{2} $ 的直线 $ l $ 与 $ C $ 的交点为 $ A $，$ B $，与 $ x $ 轴的交点为 $ P $.
(1)若 $ |AF| + |BF| = 4 $，求直线 $ l $ 的方程；
(2)若 $ \overrightarrow{AP} = 3\overrightarrow{PB} $，求 $ |AB| $.

答案： 训练3
(1)直线$l$的方程为$y = \frac{3}{2}x - \frac{7}{8}$；
(2)$|AB| = \frac{4\sqrt{13}}{3}$。