《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} =$$q$(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，则$G^{2} =$$ab$.

答案： 1.
(1)同一个$q$
(2)$ab$

2. 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列$\{a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公比是q，则其通项公式为$a_{n} =$$a_{1}q^{n-1}$；
通项公式的推广：$a_{n} = a_{m}q^{n - m}$.
(2)等比数列的前n项和公式：当q = 1时，$S_{n} =$ $na_{1}$；当q≠1时，$S_{n} =$$\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$$=\frac{a_{1} - a_{n}q}{1 - q}$.

答案： 2.
(1)$a_{1}q^{n-1}$
(2)$\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}$

3. 等比数列的性质
已知$\{a_{n}\}$是等比数列，$S_{n}$是数列$\{a_{n}\}$的前n项和.
(1)若$k + l = m + n(k,l,m,n\in N^{*})$，则有$a_{k} \cdot a_{l} =$$a_{m}\cdot a_{n}$.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即$a_{k},a_{k + m},a_{k + 2m},\cdots$仍是等比数列，公比为$q^{m}$.
(3)当q≠-1，或q = -1且n为奇数时，$S_{n},S_{2n} - S_{n},S_{3n} - S_{2n},\cdots$仍成等比数列，其公比为$q^{n}$.
(4)当q＞1，$a_{1}$ ＞ 0或0 ＜ q ＜ 1，$a_{1}$ ＜ 0时，$\{a_{n}\}$是递增数列；当q＞1，$a_{1}$ ＜ 0或0 ＜ q ＜ 1，$a_{1}$ ＞ 0时，$\{a_{n}\}$是递减数列.

答案： 3.
(1)$a_{m}\cdot a_{n}$
(2)$q^{m}$
(3)$q^{n}$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数. (×)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是$b^{2} = ac$. (×)
(3)数列$\{a_{n}\}$的通项公式是$a_{n} = a^{n}$，则其前n项和为$S_{n} =\frac{a(1 - a^{n})}{1 - a}$. (×)
(4)数列$\{a_{n}\}$为等比数列，则$S_{4},S_{8} - S_{4},S_{12} - S_{8}$成等比数列. (×)

答案： 1.
(1)$×$
(2)$×$
(3)$×$
(4)$×$ [
(1)在等比数列中,$q\neq0$.
(2)若$a=0,b=0,c=0$满足$b^{2}=ac$,但$a,b,c$不成等比数列.
(3)当$a=1$时,$S_{n}=na$.
(4)若$a_{1}=1,q=-1$,则$S_{1}=0,S_{8}-S_{4}=0$,$S_{12}-S_{8}=0$,不成等比数列.]

2. (北师大选修二P29例5(2)改编)等比数列$1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}\cdots$，前10项的和为$\frac{1023}{512}$.

答案： 2.$\frac{1023}{512}$ [$S_{10}=\frac{1×\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1023}{512}$.]

3. (人教A选修二P37T3改编)在等比数列$\{a_{n}\}$中，已知$a_{2} = 6$，$6a_{1} + a_{3} = 30$，则$a_{n} =$$3\cdot2^{n-1}$或$2\cdot3^{n-1}$.

答案： 3.$3\cdot2^{n-1}$或$2\cdot3^{n-1}$ [设数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$, 由题意得$\begin{cases}a_{1}q=6,\\6a_{1}+a_{1}q^{2}=30.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}q=2,\\a_{1}=3,\end{cases}$或$\begin{cases}q=3,\\a_{1}=2.\end{cases}$ 故$a_{n}=3\cdot2^{n-1}$或$a_{n}=2\cdot3^{n-1}$]

4. (人教B选修三P37T5拓展)已知等比数列$\{a_{n}\}$满足$a_{4} + a_{6} = 10$，$a_{2} \cdot a_{8} = 2$，则$\frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{6}} =$5.

答案： 4.5 [$ \frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{6}}=\frac{a_{4}+a_{6}}{a_{4}a_{6}}=\frac{a_{4}+a_{6}}{a_{2}a_{8}}=\frac{10}{2}=5.$]