《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 两条直线的位置关系
直线 $ l_1:y = k_1x + b_1 $，$ l_2:y = k_2x + b_2 $，$ l_3:A_1x + B_1y + C_1 = 0 $，$ l_4:A_2x + B_2y + C_2 = 0 $ 的位置关系如下表：

答案： 1.$k_1=k_2$且$b_1\neq b_2$ $A_1B_2 - A_2B_1=0$且$A_1C_2 - A_2C_1\neq0$ $k_1\cdot k_2 = -1$ $A_1A_2 + B_1B_2=0$ $k_1\neq k_2$ $A_1B_2 - A_2B_1\neq0$

2. 直线的交点与方程组解的关系
(1) 两直线的交点
点 $ P $ 的坐标既满足直线 $ l_1 $ 的方程 $ A_1x + B_1y + C_1 = 0 $，也满足直线 $ l_2 $ 的方程 $ A_2x + B_2y + C_2 = 0 $，即点 $ P $ 的坐标是方程组 $ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases} $ 的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2) 两直线的位置关系与方程组解的关系

答案： 2.
(1)交点
(2)无解 无数个 相交 平行

3. 距离公式
(1) 两点间的距离公式
平面上任意两点 $ P_1(x_1,y_1) $，$ P_2(x_2,y_2) $ 间的距离公式为 $ |P_1P_2| =$$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$$.
特别地，原点 $ O(0,0) $ 与任一点 $ P(x,y) $ 的距离 $ |OP| =$$\sqrt{x^2 + y^2}$$$.
(2) 点到直线的距离公式
平面上任意一点 $ P_0(x_0,y_0) $ 到直线 $ l:Ax + By + C = 0 $ 的距离 $ d =$$\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$$.
(3) 两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线 $ l_1:Ax + By + C_1 = 0 $，$ l_2:Ax + By + C_2 = 0(C_1 \neq C_2) $ 间的距离 $ d =$$\frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$$.

答案： 3.
(1)$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ $\sqrt{x^2 + y^2}$
(2)$\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
(3)$\frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 当直线 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 的斜率都存在时，一定有 $ k_1 = k_2 \Rightarrow l_1 // l_2 $. (×)
(2) 如果两条直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 垂直，则它们的斜率之积一定等于 $ -1 $. (×)
(3) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交. (√)
(4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. (√)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)√
(4)√ [
(1)两直线$l_1,l_2$有可能重合.
(2)当$l_1\perp l_2$时，若$l_1$的斜率$k_1 = 0$，则$l_2$的斜率不存在，不满足题意.]