《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点三 与圆有关的最值问题
角度1 利用几何意义（或参数方程）求最值
例3 已知点$(x,y)$在圆$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 1$上，求：
(1)$\frac{y}{x}$的最大值和最小值；
(2)$x + y$的最大值和最小值；
(3)$\sqrt{x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5}$的最大值和最小值。

答案： 例3 解 法一(几何意义法)
(1)$\frac{y}{x}$可视为点$(x,y)$与原点连线的斜率,$\frac{y}{x}$的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线斜率的最大值和最小值,即直线与圆相切时的斜率。设过原点的直线方程为 $y = kx$,由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即$\frac{\vert2k + 3\vert}{\sqrt{k^{2}+1}}=1$,解得 $k=-2+\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 或 $k=-2-\frac{2\sqrt{3}}{3}$,$\therefore\frac{y}{x}$ 的最大值为$-2+\frac{2\sqrt{3}}{3}$,最小值为$-2-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
(2)设 $t = x + y$,则 $y=-x + t$,$t$可视为直线 $y=-x + t$ 在 $y$ 轴上的截距,$\therefore x + y$ 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时在 $y$ 轴上的截距。由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即$\frac{\vert2+(-3)-t\vert}{\sqrt{2}}=1$,解得 $t=\sqrt{2}-1$ 或 $t=-\sqrt{2}-1$,$\therefore x + y$ 的最大值为$\sqrt{2}-1$,最小值为$-\sqrt{2}-1$。
(3)$\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 5}=\sqrt{(x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}}$,求它的最值可视为求点$(x,y)$到定点$(-1,2)$的距离的最值,可转化为求圆心$(2,-3)$到定点$(-1,2)$的距离与半径的和或差。又圆心到定点$(-1,2)$的距离为$\sqrt{34}$,$\therefore\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 5}$ 的最大值为$\sqrt{34}+1$,最小值为$\sqrt{34}-1$。
法二(参数方程法) $(x - 2)^{2}+(y + 3)^{2}=1$ 的参数方程为$\begin{cases}x = 2+\cos\theta\\y = -3+\sin\theta,\theta\in[0,2\pi)\end{cases}$。
(1)设$\frac{y}{x}=t$,即 $\sin\theta - t\cos\theta = 2t + 3\leqslant\sqrt{1 + t^{2}}$,即$-2-\frac{2\sqrt{3}}{3}\leqslant t\leqslant-2+\frac{2\sqrt{3}}{3}$,即$\frac{y}{x}$ 的最大值为$-2+\frac{2\sqrt{3}}{3}$,最小值为$-2-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
(2)$x + y = 2+\cos\theta - 3+\sin\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)-1\in[-\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1]$,即 $x + y$ 的最大值为$\sqrt{2}-1$,最小值为$-\sqrt{2}-1$。
(3)$\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 5}=\sqrt{35 - 10\sin\theta + 6\cos\theta}=\sqrt{35 - 2\sqrt{34}\sin(\theta - \varphi)}\in[\sqrt{35 - 2\sqrt{34}},\sqrt{35 + 2\sqrt{34}}]$,即$[\sqrt{34}-1,\sqrt{34}+1]$,$\therefore\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 5}$ 的最大值为$\sqrt{34}+1$,最小值为$\sqrt{34}-1$。

角度2 利用对称性求最值
例4 已知圆$C_1:(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1$，圆$C_2:(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 9$，$M$，$N$分别是圆$C_1$，$C_2$上的动点，$P$为$x$轴上的动点，则$|PM| + |PN|$的最小值为______。

答案： 例4 $5\sqrt{2}-4$ [P 是 $x$ 轴上任意一点,则$\vert PM\vert$的最小值为$\vert PC_{1}\vert-1$,同理$\vert PN\vert$ 的最小值为$\vert PC_{2}\vert-3$,则$\vert PM\vert+\vert PN\vert$ 的最小值为$\vert PC_{1}\vert+\vert PC_{2}\vert-4$。作 $C_{1}$ 关于 $x$ 轴的对称点 $C_{1}'(2,-3)$,所以$\vert PC_{1}\vert+\vert PC_{2}\vert=\vert PC_{1}'\vert+\vert PC_{2}\vert\geqslant\vert C_{1}'C_{2}\vert=5\sqrt{2}$,所以$\vert PM\vert+\vert PN\vert$ 的最小值为$\vert PC_{1}\vert+\vert PC_{2}\vert-4\geqslant5\sqrt{2}-4$。]

角度3 建立函数关系求最值
例5 设点$P(x,y)$是圆：$x^2 + (y - 3)^2 = 1$上的动点，定点$A(2,0)$，$B(-2,0)$，则$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$的最大值为______。

答案： 例5 12 [由题意,知$\overrightarrow{PA}=(2 - x,-y)$,$\overrightarrow{PB}=(-2 - x,-y)$,所以$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=x^{2}+y^{2}-4$。由于点 $P(x,y)$是圆上的点,故其坐标满足方程$x^{2}+(y - 3)^{2}=1$,所以$x^{2}=-(y - 3)^{2}+1$,所以$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=-(y - 3)^{2}+1+y^{2}-4=6y - 12$。由圆的方程 $x^{2}+(y - 3)^{2}=1$,易知 $2\leqslant y\leqslant4$,当 $y = 4$ 时,$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的值最大,最大值为$6×4 - 12 = 12$。]

(1)(2025·北京海淀区模拟)在平面直角坐标系$Oxy$中，已知$P$是圆$C:(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 1$上的动点。若$A(-a,0)$，$B(a,0)$，$a \neq 0$，则$|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}|$的最大值为(B)

A.16
B.12
C.8
D.6

答案：
(1)B [
(1)因为$\vert\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}\vert=2\vert\overrightarrow{PO}\vert$,$\vert\overrightarrow{PO}\vert_{\max}=\vert\overrightarrow{OC}\vert+1=\sqrt{3^{2}+4^{2}}+1 = 6$,所以$\vert\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}\vert_{\max}=12$。]

(2)(2023·全国乙卷)已知实数$x$，$y$满足$x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0$，则$x - y$的最大值是(C)

A.$1 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$
B.4
C.$1 + 3\sqrt{2}$
D.72

答案：
(2)C [
(2)将方程 $x^{2}+y^{2}-4x - 2y - 4 = 0$ 化为$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=9$,其表示圆心为$(2,1)$,半径为3的圆。
法一(几何意义法) 设 $z = x - y$,则 $y = x - z$,$z$可视为直线 $y = x - z$ 在 $y$ 轴上的截距的相反数,$\therefore x - y$ 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在 $y$ 轴上的截距的相反数的最大值和最小值。由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即$\frac{\vert2 - 1 - z\vert}{\sqrt{2}}=3$,解得 $z = 1\pm3\sqrt{2}$,故 $x - y$ 的最大值为$1 + 3\sqrt{2}$。
法二(参数方程法) 设圆的参数方程为$\begin{cases}x = 2 + 3\cos\theta\\y = 1 + 3\sin\theta\end{cases}$,则 $x - y = 2 + 3\cos\theta - 1 - 3\sin\theta=1 + 3\sqrt{2}\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$,故 $x - y$ 的最大值为$1 + 3\sqrt{2}$。]