《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

训练 2 已知函数$f(x)=\frac{\ln e^{a x}-1}{e^{a x}}$，若不等式$f(x) \geq \frac{\ln x - 1}{x}$对$x \in(0, e]$恒成立，求$a$的取值范围。$[\frac{1}{e},+\infty)$

答案： 训练2 解 因为$\frac{\ln e^{ax}-1}{e^{ax}}\geqslant\frac{\ln x - 1}{x}$
设函数$g(x)=\frac{\ln x - 1}{x},x\in(0,e]$，
则$\frac{\ln e^{ax}-1}{e^{ax}}\geqslant\frac{\ln x - 1}{x}$等价于$g(e^{ax})\geqslant g(x)$.
$\because g'(x)=\frac{2 - \ln x}{x^{2}}$，$\therefore$当$x\in(0,e]$时，$g'(x)＞0$，
则$g(x)$在$(0,e]$上单调递增，
当$x\in(0,e]$时，$g(e^{ax})\geqslant g(x)$等价于$e^{ax}\geqslant x$
即$a\geqslant\frac{\ln x}{x}$恒成立.
设函数$h(x)=\frac{\ln x}{x},x\in(0,e]$，
则$h'(x)=\frac{1 - \ln x}{x^{2}}\geqslant0$，
即$h(x)$在$(0,e]$上单调递增，
$\therefore h(x)_{\max}=h(e)=\frac{1}{e}$，则$a\geqslant\frac{1}{e}$即可，
$\therefore a$的取值范围为$[\frac{1}{e},+\infty)$.

例 3 对于任意的$x＞0$，$e^{x} \geq(a - 1)x+\ln(a x)$恒成立，则$a$的最大值是________。

答案： 例3 e [$\because e^{x}\geqslant(a - 1)x+\ln(ax)$，
可得$e^{x}+x\geqslant ax+\ln(ax)$，
即$e^{x}+x\geqslant e^{\ln(ax)}+\ln(ax)$，
令$f(x)=e^{x}+x$，则$f(x)\geqslant f(\ln(ax))$，
因为$f(x)$在$\mathrm{R}$上是增函数，
所以$x\geqslant\ln(ax)$，即$a\leqslant\frac{e^{x}}{x}$
令$h(x)=\frac{e^{x}}{x}(x＞0)$，则$h'(x)=\frac{(x - 1)e^{x}}{x^{2}}$
当$x\in(0,1)$时，$h'(x)＜0$，$h(x)$单调递减；
当$x\in(1,+\infty)$时，$h'(x)＞0$，$h(x)$单调递增，
所以$h(x)_{\min}=h(1)=e$，即$a\leqslant e$，
所以$a$的最大值是$e$.]![img alt=例3图片]（由于例3无实际图片内容，此处用标签代替）

训练 3 若关于$x$的不等式$e^{x - a} \geq \ln x + a$对一切正实数$x$恒成立，则实数$a$的取值范围是(C)
A.$\left(-\infty, \frac{1}{e}\right)$
B.$(-\infty, e]$
C.$(-\infty, 1]$
D.$(-\infty, 2]$

答案： 训练3 C [$\because e^{x - a}\geqslant\ln x + a$，
$\therefore e^{x - a}+x - a\geqslant x+\ln x$，
$\therefore e^{x - a}+x - a\geqslant e^{\ln x}+\ln x$.
设$f(t)=e^{t}+t$，则$f'(t)=e^{t}+1＞0$，
$\therefore f(t)$在$\mathrm{R}$上单调递增，
故$e^{x - a}+x - a\geqslant e^{\ln x}+\ln x$，
即$f(x - a)\geqslant f(\ln x)$，
$\therefore x - a\geqslant\ln x$，即$x - \ln x\geqslant a$.
设$g(x)=x - \ln x,x＞0$，
则$g'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x - 1}{x}$
令$g'(x)＞0$，则$x＞1$，
令$g'(x)＜0$，则$0＜x＜1$，
$\therefore g(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，在$(0,1)$上单调递减，故$g(x)_{\min}=g(1)=1$，故$a\leqslant1$.]