《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 指数、对数、幂函数模型性质比较

2. 几种常见的函数模型

答案： 递增；递增；递增；$y$轴；$x$轴

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利. (×)
(2)函数$y = 2^x$的函数值比$y = x^2$的函数值大. (×)
(3)不存在$x_0$，使$a^{x_0} ＜ x_0^n ＜ \log_a x_0$. (×)
(4)在$(0, +\infty)$上，随着$x$的增大，$y = a^x$($a ＞ 1$)的增长速度会超过并远远大于$y = x^a$($a ＞ 0$)的增长速度. (√)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√ [
(1)9折出售的售价为$100(1 + 10\%) × \frac{9}{10} = 99$(元).
∴每件赔1元,
(1)错误.
(2)当$x = 2$时,$2^{x} = x^{2} = 4$.
(2)不正确.
(3)如$a = x_{0} = \frac{1}{2}$,$n = \frac{1}{4}$,不等式成立,因此
(3)错误.]

2. (人教A必修一P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示. 假设某商人持有资金120万元，他可以在$t_1$至$t_4$的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计). 如果他在$t_4$时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是 (D)


A.40万元
B.60万元
C.80万元
D.120万元

答案： 2.D [当甲商品的价格为6元时,该商人全部买入甲商品,可以买$120 ÷ 6 = 20$(万份),在$t_{2}$时刻全部卖出,此时获利$20×2 = 40$(万元);当乙商品的价格为4元时,该商人买入乙商品,可以买$(120 + 40) ÷ 4 = 40$(万份),在$t_{4}$时刻全部卖出,此时获利$40×2 = 80$(万元).故该商人共获利$40 + 80 = 120$(万元).]

3. (2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据$L$和小数记录法的数据$V$满足$L = 5 + \lg V$. 已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为($\sqrt[10]{10} \approx 1.259$) (C)

A.1.5
B.1.2
C.0.8
D.0.6

答案： 3.C [由题意知$4.9 = 5 + \lg V$,得$\lg V = - 0.1$,得$V = 10^{- \frac{1}{10}} \approx 0.8$,所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.]

4. 某商品在最近30天内的价格$f(t)$与时间$t$(单位：天)的函数关系是$f(t) = t + 10$($0 ＜ t \leq 30$，$t \in \mathbf{N}$)，销售量$g(t)$与时间$t$的函数关系是$g(t) = -t + 35$($0 ＜ t \leq 30$，$t \in \mathbf{N}$)，则这种商品的日销售金额的最大值是506.

答案： 4.506 [日销售金额$y = (-t + 35)(t + 10)$$= - (t - \frac{25}{2})^{2} + 350 + \frac{625}{4}$.$\because t \in \mathbf{N}$,$\therefore t = 12$或13时,$y_{\max} = 506$.