《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 利用导数求函数的极值
角度 1 根据函数图象判断极值
例 1 (多选)如图是函数 $ y = f(x) $ 的导函数 $ f'(x) $ 的图象，下列说法正确的是 (BC)


A.$ f(1) $ 为函数 $ f(x) $ 的极大值
B.当 $ x = -1 $ 时，$ f(x) $ 取得极小值
C.$ f(x) $ 在 $(-1, 2)$ 上单调递增，在 $(2, 4)$ 上单调递减
D.当 $ x = 3 $ 时，$ f(x) $ 取得极小值

答案： 例1 BC [由图象知，当$x\in(-2,-1)$时，$f^{\prime}(x)＜0$，即$f(x)$在$(-2,-1)$上单调递减，当$x\in(-1,2)$时，$f^{\prime}(x)＞0$，即$f(x)$在$(-1,2)$上单调递增，所以当$x = - 1$时，$f(x)$取得极小值，故A错误，B正确；当$x\in(2,4)$时，$f^{\prime}(x)＜0$，即$f(x)$在$(2,4)$上单调递减，故C正确，D错误。]

(1)(2025·咸阳模拟)已知函数 $ f(x) = 2\cos^2 \frac{x}{2} + \frac{a}{2}x^2 $，若 $ x = 0 $ 是 $ f(x) $ 的唯一极小值点，则 $ a $ 的取值范围为 (A)

A.$[1, +\infty)$
B.$(0, 1)$
C.$[-1, +\infty)$
D.$(-\infty, 1]$

答案： 训练1
(1)A [因为$f(x)=2\cos^{2}\frac{x}{2}+\frac{a}{2}x^{2}=\cos x + 1+\frac{a}{2}x^{2}$，所以$f^{\prime}(x)=-\sin x + ax$，令$g(x)=f^{\prime}(x)=-\sin x + ax$，则$g^{\prime}(x)=-\cos x + a$。当$a\geq1$时，$g^{\prime}(x)=-\cos x + a\geq0$，故$g(x)$单调递增，又$g(0)=0$，故当$x＞0$时，$g(x)＞0$；当$x＜0$时，$g(x)＜0$，所以$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增，故$x = 0$是函数$f(x)$的唯一极小值点，符合题意；当$a＜1$时，$g^{\prime}(0)= - 1 + a＜0$，故一定存在$m＞0$，使得$g(x)$在$(0,m)$上单调递减。当$x\in(0,m)$时，$g(x)＜g(0)=0$，$f(x)$单调递减，此时$x = 0$不是函数$f(x)$的极小值点，不符合题意。综上所述，$a$的取值范围为$[1,+\infty)$。]

(2)已知函数 $ f(x) = \ln x - ax(a \in \mathbf{R}) $，讨论函数 $ f(x) $ 在定义域内极值点的个数.

答案： 训练1
(2)解 函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1 - ax}{x}(x＞0)$。当$a\leq0$时，$f^{\prime}(x)＞0$在$(0,+\infty)$上恒成立，则函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，此时函数$f(x)$在定义域上无极值点；当$a＞0$时，若$x\in\left(0,\frac{1}{a}\right)$，则$f^{\prime}(x)＞0$；若$x\in\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$，则$f^{\prime}(x)＜0$，则函数$f(x)$在$\left(0,\frac{1}{a}\right)$上单调递增，在$\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$上单调递减，故函数$f(x)$在$x = \frac{1}{a}$处有极大值。综上可知，当$a\leq0$时，函数$f(x)$无极值点，当$a＞0$时，函数$y = f(x)$有一个极大值点，且为$x = \frac{1}{a}$。