《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

(2)已知函数$f(x)=2ax^3+x$.当$x\in(1,+\infty)$时,恒有$f(x)＞x^3-a$,求$a$的取值范围.$[\frac{1}{2},+\infty)$

答案：
(2)解 当$x \in (1,+\infty)$时，$f(x)＞x^{3}-a$恒成立，即$2ax^{3}+x＞x^{3}-a$恒成立。
即$a(2x^{3}+1)＞x^{3}-x$恒成立，即$a＞\frac{x^{3}-x}{2x^{3}+1}$恒成立。
令$\varphi(x)=\frac{x^{3}-x}{2x^{3}+1}(x＞1)$，$\therefore \varphi^{\prime}(x)=\frac{4x^{3}+3x^{2}-1}{(2x^{3}+1)^{2}}＞0$。
$\therefore \varphi(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增。
由洛必达法则知又$\lim\limits_{x \to +\infty}\varphi(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x^{3}-x}{2x^{3}+1}=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{3x^{2}-1}{6x^{2}}=\frac{1}{2}$。
$\therefore \varphi(x)＜\frac{1}{2}$，故$a \geqslant \frac{1}{2}$。
故$a$的取值范围为$[\frac{1}{2},+\infty)$。

例2 (12分)(2024·全国甲卷)已知函数$f(x)=(1-ax)\ln(1+x)-x$.
(1)当$a=-2$时,求$f(x)$的极值;
(2)当$x\geqslant0$时,$f(x)\geqslant0$,求$a$的取值范围.

答案： [思路分析]
(1)求出函数的导数,根据函数导数的零点与单调性求$f(x)$的极值.
(2)思路一:求出函数$f(x)$的导数$f'(x)$,令$S(x)=f'(x)$,根据$S'(x)$的符号讨论$f'(x)$的符号,把问题转化为求函数$f(x)$的最值.
思路二:先求出当$x\geqslant0$时,$f(x)\geqslant0$的必要条件,然后证明其满足充分性.
[规范解答] 解
(1)当$a=-2$时,$f(x)=(1+2x)\ln(1+x)-x$,$x\in(-1,+\infty)$,
$f'(x)=2\ln(1+x)+\frac{1+2x}{1+x}-1$
$=2\ln(1+x)-\frac{1}{1+x}+1$.
→求导数 (1分)
易知$f'(x)$在$(-1,+\infty)$上单调递增,且$f'(0)=0$,
所以当$x\in(-1,0)$时,$f'(x)＜0$,
当$x\in(0,+\infty)$时,$f'(x)＞0$,
所以$f(x)$在$(-1,0)$上单调递减,在$(0,+\infty)$上单调递增,
→根据$f'(x)$的符号确定$f(x)$的单调区间 (3分)
所以当$x=0$时,$f(x)$取得极小值,为$f(0)=0$,$f(x)$无极大值.
→求$f(x)$的极值 (5分)
(2)法一 $f'(x)=-a\ln(1+x)-\frac{(a+1)x}{1+x}$,$x\geqslant0$,
设$S(x)=-a\ln(1+x)-\frac{(a+1)x}{1+x}$,$x\geqslant0$,
则$S'(x)=-\frac{a}{x+1}-\frac{a+1}{(1+x)^2}$
$=-\frac{ax+2a+1}{(1+x)^2}$,
→为了确定$f'(x)$的符号,求$f(x)$的二阶导数 (6分)
当$a\leqslant-\frac{1}{2}$时,$S'(x)\geqslant0$,
故$S(x)$在$[0,+\infty)$上为增函数,
故$S(x)\geqslant S(0)=0$,即$f'(x)\geqslant0$,
所以$f(x)$在$[0,+\infty)$上为增函数,
故$f(x)\geqslant f(0)=0$.
→利用$S'(x)$的符号得到当$a\leqslant-\frac{1}{2}$时原不等式成立 (8分)
当$-\frac{1}{2}＜a＜0$时,当$0＜x＜-\frac{2a+1}{a}$时,
$S'(x)＜0$,
故$S(x)$在$(0,-\frac{2a+1}{a})$上为减函数,
故在$(0,-\frac{2a+1}{a})$上$S(x)＜S(0)=0$,
即在$(0,-\frac{2a+1}{a})$上$f'(x)＜0$,
所以$f(x)$在$(0,-\frac{2a+1}{a})$上为减函数,
故在$(0,-\frac{2a+1}{a})$上$f(x)＜f(0)=0$,
不合题意,舍去.
→证明$-\frac{1}{2}＜a＜0$时不合题意 (10分)
当$a\geqslant0$时,此时,$S'(x)＜0$在$[0,+\infty)$上恒成立,
同理可得在$(0,+\infty)$上$f(x)＜f(0)=0$,
不合题意,舍去.
→证明$a\geqslant0$时,不合题意
综上,$a$的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{2}]$. (12分)
法二 $f(x)=(1-ax)\ln(1+x)-x$,$x\in(-1,+\infty)$,
则$f'(x)=-a\ln(1+x)-\frac{(a+1)x}{1+x}$,
设$g(x)=-a\ln(1+x)-\frac{(a+1)x}{1+x}$,
则$g'(x)=-\frac{a}{1+x}-\frac{a+1}{(1+x)^2}$.
→求$f'(x)$及其导数,用以确定$f(x)$的单调性 (6分)
因为当$x\geqslant0$时,$f(x)\geqslant0$,且$f(0)=0$,$f'(0)=0$,
所以$g'(0)=-2a-1\geqslant0$,得$a\leqslant-\frac{1}{2}$,
故$a\leqslant-\frac{1}{2}$是原不等式成立的一个必要条件.
→找出原不等式成立的一个必要条件 (8分)
下面证明其充分性:
当$a\leqslant-\frac{1}{2}$,$x\geqslant0$时,
$g'(x)\geqslant\frac{1}{2(1+x)}-\frac{1}{2(1+x)^2}=\frac{x}{2(1+x)^2}\geqslant0$,
所以$f'(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增,
且$f'(x)\geqslant f'(0)=0$,
所以$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增,
且$f(x)\geqslant f(0)=0$.
→证明$a\leqslant-\frac{1}{2}$是使原不等式成立的充分条件 (11分)
综上,$a$的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{2}]$. (12分)