《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例3 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=\frac{3n^{2}+n}{2}$，$\{ b_{n}\}$为等比数列，公比为$2$，且$b_{1}$，$b_{2}+1$，$b_{3}$为等差数列。
(1)求$\{ a_{n}\}$与$\{ b_{n}\}$的通项公式；
(2)把数列$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$的公共项由小到大排成的数列记为$\{ c_{n}\}$，求数列$\{ c_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$。$a_n=3n-1$，$b_n=2^n$$T_n=\frac{2(4^n-1)}{3}$

答案：
(1)$a_n=3n-1$，$b_n=2^n$；
(2)$T_n=\frac{2(4^n-1)}{3}$

训练3 (2025·泉州质检)已知等差数列$\{ a_{n}\}$和等比数列$\{ b_{n}\}$满足$a_{1}=4$，$b_{1}=2$，$a_{2}=2b_{2}-1$，$a_{3}=b_{3}+2$。
(1)求$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$的通项公式；
(2)数列$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$中的所有项分别构成集合$A$，$B$，将$A\cup B$的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列$\{ c_{n}\}$，求数列$\{ c_{n}\}$的前$60$项和$S_{60}$。$a_n=3n+1$，$b_n=2^n$5014

答案：
(1)$a_n=3n+1$，$b_n=2^n$；
(2)$S_{60}=5014$

例4 (2025·无锡调研)已知$S_{n}$是等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{n}=n - (-1)^{n}S_{n}$，$a_{1}+b_{1}=3$，$a_{2}-b_{2}=5$。
(1)求数列$\{ b_{n}\}$的通项公式；
(2)设数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$。
①求$T_{10}$。
②若集合$A = \{ n|n\leqslant 100$且$T_{n}\leqslant 100$，$n\in\mathbf{N}^{*}\}$，求集合$A$中所有元素的和。

答案：
(1)$b_n=n-(-1)^n\cdot n^2$；
(2)①$T_{10}=0$；②集合$A$中所有元素的和为2575

训练4 已知$S_{n}$为等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，且$a_{1}=1$，$S_{7}=28$，记$b_{n}=[\lg a_{n}]$，其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数，如$[0.9]=0$，$[\lg 99]=1$。
(1)求$b_{1}$，$b_{11}$，$b_{101}$；
(2)求数列$\{ b_{n}\}$的前$1000$项和。

答案：
(1)$b_1=0$，$b_{11}=1$，$b_{101}=2$；
(2)数列$\{b_n\}$的前1000项和为1893