《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

训练(多选)
类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系 $ O - xyz $ 中的一个平面的方程，如果平面 $ \alpha $ 的一个法向量 $ \boldsymbol{n} = (a, b, c) $，已知平面 $ \alpha $ 上定点 $ P_0(x_0, y_0, z_0) $，对于平面 $ \alpha $ 上任意点 $ P(x, y, z) $，根据 $ \overrightarrow{PP_0} \perp \boldsymbol{n} $ 可得平面 $ \alpha $ 的方程为 $ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $. 则在空间直角坐标系 $ O - xyz $ 中，下列说法正确的是 (ABD)

A.若平面 $ \alpha $ 过点 $ (1, 1, 1) $，且法向量为 $ (1, 1, 1) $，则平面 $ \alpha $ 的方程为 $ x + y + z - 3 = 0 $
B.若平面 $ \alpha $ 的方程为 $ 6x - 2y - 2z - 3 = 0 $，则 $ \boldsymbol{a} = (-3, 1, 1) $ 是平面 $ \alpha $ 的法向量
C.方程 $ 3x - 2y = 0 $ 表示经过坐标原点且斜率为 $ \dfrac{3}{2} $ 的一条直线
D.关于 $ x $，$ y $，$ z $ 的任何一个三元一次方程都表示一个平面

答案： ABD　[对于$A$，根据题设可知平面$\alpha$的方程为$1 × (x - 1)+1 × (y - 1)+1 × (z - 1)=0$，即为$x + y + z - 3 = 0$，故$A$正确；对于$B$，因为平面$\alpha$的方程为$6x - 2y - 2z - 3 = 0$，由题设可知平面$\alpha$的一个法向量为$\mathbf{n}=(6,-2,-2)$，且$\mathbf{n}=-2\mathbf{a}$，即$\mathbf{n}$，$\mathbf{a}$共线，所以$\mathbf{a}=(-3,1,1)$是平面$\alpha$的法向量，故$B$正确；对于$C$，$3x - 2y = 0 \Leftrightarrow 3 × (x - 0)-2 × (y - 0)+0 × (z - 0)=0$，该方程可表示：一个法向量为$\mathbf{m}=(3,-2,0)$且过$(0,0,0)$的平面，故$C$错误；对于$D$，设$ax + by + cz = d$（$abc \neq 0$），其等价于$a(x - 0)+b(y - 0)+c\left(z-\frac{d}{c}\right)=0$，该方程可表示：一个法向量为$\mathbf{p}=(a,b,c)$且过$\left(0,0,\frac{d}{c}\right)$的平面，故$D$正确。]