《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点二 平面与平面平行的判定与性质
例3 (2024·潍坊质检)如图，在三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，$E,F,G$分别为棱$B_1C_1,A_1B_1,AB$的中点.
(1)求证：平面$A_1C_1G//$平面$BEF$；
(2)若平面$A_1C_1G\cap BC = H$，求证：$H$为$BC$的中点.

答案： 例3　证明　
(1)
∵E，F分别为$B_1C_1$，$A_1B_1$的中点，
∴EF//$A_1C_1$。
∵$A_1C_1$⊂平面$A_1C_1G$，EF⊄平面$A_1C_1G$，
∴EF//平面$A_1C_1G$。
又F，G分别为$A_1B_1$，AB的中点，
∴$A_1F = BG$，
又$A_1F$//BG，
∴四边形$A_1GBF$为平行四边形，
∴BF//$A_1G$。
∵$A_1G$⊂平面$A_1C_1G$，BF⊄平面$A_1C_1G$，
∴BF//平面$A_1C_1G$。
又EF∩BF = F，EF，BF⊂平面BEF，
∴平面$A_1C_1G$//平面BEF。
(2)
∵平面ABC//平面$A_1B_1C_1$，平面$A_1C_1G$∩平面$A_1B_1C_1 = A_1C_1$，
平面$A_1C_1G$与平面ABC有公共点G，
经过点G的直线交BC于点H，
则$A_1C_1$//GH，得GH//AC。
∵G为AB的中点，
∴H为BC的中点。

如图，四棱柱$ABCD - A_1B_1C_1D_1$的底面$ABCD$是正方形.
(1)证明：平面$A_1BD//$平面$CD_1B_1$.
(2)若平面$ABCD\cap$平面$CD_1B_1 = l$，证明：$B_1D_1//$l$l$.

答案： 训练2　证明　
(1)由题设知$BB_1$//$DD_1$且$BB_1 = DD_1$，所以四边形$BB_1D_1D$是平行四边形，所以BD//$B_1D_1$。
又BD⊄平面$CD_1B_1$，$B_1D_1$⊂平面$CD_1B_1$，所以BD//平面$CD_1B_1$。
因为$A_1D_1$//$B_1C_1$//BC且$A_1D_1 = B_1C_1 = BC$，所以四边形$A_1BCD_1$是平行四边形，
所以$A_1B$//$D_1C$。
又$A_1B$⊄平面$CD_1B_1$，$D_1C$⊂平面$CD_1B_1$，所以$A_1B$//平面$CD_1B_1$。
又因为BD∩$A_1B = B$，BD，$A_1B$⊂平面$A_1BD$，所以平面$A_1BD$//平面$CD_1B_1$。
(2)由
(1)知平面$A_1BD$//平面$CD_1B_1$，
又平面ABCD∩平面$CD_1B_1 = l$，
平面ABCD∩平面$A_1BD = BD$，所以l//BD，又BD//$B_1D_1$，所以$B_1D_1$//l。

考点三 平行关系的综合应用
例4 如图，在斜三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，$D,D_1$分别为$AC,A_1C_1$上的点.
(1)当$\frac{A_1D_1}{D_1C_1}$等于何值时，$BC_1//$平面$AB_1D_1$?
(2)若平面$BC_1D//$平面$AB_1D_1$，求$\frac{AD}{DC}$的值.

答案：
例4　解　
(1)当$\frac{A_1D_1}{D_1C_1}=1$时，$BC_1$//平面$AB_1D_1$。
如图，连接$A_1B$交$AB_1$于点O，连接$OD_1$。

由棱柱的性质知，四边形$A_1ABB_1$为平行四边形，
∴点O为$A_1B$的中点。
在△$A_1BC_1$中，O，$D_1$分别为$A_1B$，$A_1C_1$的中点，
∴$OD_1$//$BC_1$。
又$OD_1$⊂平面$AB_1D_1$，$BC_1$⊄平面$AB_1D_1$，
∴$BC_1$//平面$AB_1D_1$。
(2)由已知，平面$BC_1D$//平面$AB_1D_1$，且平面$A_1BC_1$∩平面$BC_1D = BC_1$，平面$A_1BC_1$∩平面$AB_1D_1 = OD_1$。
因此$BC_1$//$OD_1$，同理$AD_1$//$DC_1$。
∵$\frac{D_1C_1}{OB}=\frac{D_1C}{AD_1}=1$，
∴$\frac{A_1O}{AD}=\frac{D_1C}{DC}=1$，即$\frac{A_1O}{OB}=\frac{AD_1}{D_1C}=1$。

如图，在正四面体$S - ABC$中，$AB = 4$，$E,F,R$分别是$SB,SC,SA$的中点，取$SE,SF$的中点$M,N$，$Q$为平面$SBC$内一点.
(1)求证：平面$MNR//$平面$AEF$；
(2)若$RQ//$平面$AEF$，求线段$RQ$的最小值.

答案：
训练3　
(1)证明　因为R，M，N分别是SA，SE，SF的中点，所以MN//EF。
又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以MN//平面AEF。
同理，MR//平面AEF，又因为MR∩MN = M，MN，MR⊂平面MNR，
所以平面MNR//平面AEF。
(2)解　由
(1)知，平面MNR//平面AEF，若RQ//平面AEF，则点Q在线段MN上移动。
由题意得AE⊥SB，AE = $\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=2\sqrt{3}$。
如图，在△RMN中，RM = $\frac{1}{2}$AE = $\sqrt{3}$，RN = $\frac{1}{2}$AF = $\sqrt{3}$，MN = 1。

RQ的最小值为R到线段MN的距离。
因为△RMN是等腰三角形，
故RQ的最小值为$\sqrt{(\sqrt{3})^{2}-(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{11}}{2}$。