《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 内的无数条直线都垂直，则 $ l \perp \alpha $. (×)
(2) 垂直于同一个平面的两平面平行. (×)
(3) 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. (×)
(4) 若平面 $ \alpha $ 内的一条直线垂直于平面 $ \beta $ 内的无数条直线，则 $ \alpha \perp \beta $. (×)

答案：
1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)× [
(1)直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 内的无数条直线都垂直，则有 $l\perp\alpha$ 或 $l$ 与 $\alpha$ 斜交或 $l\subset\alpha$ 或 $l//\alpha$，故
(1)错误。
(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故
(2)错误。
(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故
(3)错误。
(4)如图，在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$BC_{1}\perp AB$，所以 $BC_{1}$ 垂直于平面 $ABCD$ 内所有与 $AB$ 平行的直线，而平面 $ABC_{1}D_{1}$ 过 $BC_{1}$，显然平面 $ABC_{1}D_{1}$ 与平面 $ABCD$ 不垂直，故
(4)错误。]

2. (人教 A 必修二 P159T2 改编)已知直线 $ a $，$ b $ 与平面 $ \alpha $，$ \beta $，$ \gamma $，能使 $ \alpha \perp \beta $ 的充分条件是 (D)

A.$ \alpha \perp \gamma $，$ \beta \perp \gamma $
B.$ \alpha \cap \beta = a $，$ b \perp a $，$ b \subset \beta $
C.$ a // \beta $，$ a // \alpha $
D.$ a // \alpha $，$ a \perp \beta $

答案： 2.D [$\alpha\perp\gamma,\beta\perp\gamma\Rightarrow\alpha$ 与 $\beta$ 相交或平行，故A不正确；
因为 $\alpha\cap\beta = a,b\perp a,b\subset\beta$，所以 $\beta$ 可以绕交线 $a$ 任意旋转，所以不能得到 $\alpha\perp\beta$，故B不正确；
$\alpha//\beta,a//\alpha\Rightarrow a$ 与 $\beta$ 相交或平行，故C不正确；
当 $\alpha\perp\beta,a//\alpha$，过直线 $a$ 作平面与平面 $\alpha$ 交于直线 $b$，所以 $a// b$，又 $a\perp\beta$，所以 $b\perp\beta$，又 $b\subset\alpha$，所以 $\alpha\perp\beta$，故D正确。]

3. (人教 A 必修二 P150 探究改编)如图，将一张三角形纸片沿着 $ BC $ 边上的高 $ AD $ 翻折后竖立在桌面上，则折痕 $ AD $ 所在直线与桌面 $ \alpha $ 所成的角等于 (C)


A.$ 150^{\circ} $
B.$ 135^{\circ} $
C.$ 90^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $

答案： 3.C [由题意可知 $AD\perp BD$，$AD\perp CD$，$BD\cap CD = D$，$BD,CD\subset$ 平面 $\alpha$，所以 $AD\perp$ 平面 $\alpha$，所以折痕 $AD$ 所在直线与桌面 $\alpha$ 所成的角等于 $90°$。]

4. (苏教必修二 P187T11 改编)过 $ \triangle ABC $ 所在平面 $ \alpha $ 外一点 $ P $，作 $ PO \perp \alpha $，垂足为 $ O $，连接 $ PA $，$ PB $，$ PC $.
(1) 若 $ PA = PB = PC $，则点 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外心.
(2) 若 $ PA \perp PB $，$ PB \perp PC $，$ PC \perp PA $，垂足都为 $ P $，则点 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 的垂心.

答案： 4.
(1)外
(2)垂 [
(1)易证 $\triangle POA\cong\triangle POB\cong\triangle POC$，故 $OA = OB = OC$，$O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心。
(2)易知 $PA\perp$ 平面 $PBC$，从而 $PA\perp BC$。
而 $PO\perp$ 平面 $ABC$，所以 $PO\perp BC$，从而 $BC\perp$ 平面 $PAO$，所以 $BC\perp AO$。
同理 $AC\perp BO$。所以 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心。]

考点一 直线与平面垂直的判定与性质
例 1 如图，已知正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $.
(1) 求证：$ B_1D_1 \perp $ 平面 $ A_1C_1C $；
(2) $ M $，$ N $ 分别为 $ B_1D_1 $ 与 $ C_1D $ 上的点，且 $ MN \perp B_1D_1 $，$ MN \perp C_1D $，求证：$ MN // A_1C $.

答案：
例1 证明
(1)如图，连接 $A_{1}C_{1}$。

因为 $CC_{1}\perp$ 平面 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，$B_{1}D_{1}\subset$ 平面 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，所以 $CC_{1}\perp B_{1}D_{1}$。
因为四边形 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 是正方形，所以 $A_{1}C_{1}\perp B_{1}D_{1}$。
又因为 $CC_{1}\cap A_{1}C_{1} = C_{1}$，$A_{1}C_{1},CC_{1}\subset$ 平面 $A_{1}C_{1}C$，所以 $B_{1}D_{1}\perp$ 平面 $A_{1}C_{1}C$。
(2)如图，连接 $B_{1}A$，$AD_{1}$。
因为 $B_{1}C_{1}=AD$，$B_{1}C_{1}// AD$，所以四边形 $ADC_{1}B_{1}$ 为平行四边形，所以 $C_{1}D// AB_{1}$。
因为 $MN\perp C_{1}D$，所以 $MN\perp AB_{1}$。
又因为 $MN\perp B_{1}D_{1}$，$AB_{1}\cap B_{1}D_{1} = B_{1}$，$AB_{1},B_{1}D_{1}\subset$ 平面 $AB_{1}D_{1}$，所以 $MN\perp$ 平面 $AB_{1}D_{1}$。
由
(1)知 $B_{1}D_{1}\perp$ 平面 $A_{1}C_{1}C$，且 $A_{1}C_{1}\subset$ 平面 $A_{1}C_{1}C$，所以 $A_{1}C_{1}\perp B_{1}D_{1}$。
同理可得 $A_{1}C_{1}\perp AB_{1}$。
又因为 $AB_{1}\cap B_{1}D_{1} = B_{1}$，$AB_{1},B_{1}D_{1}\subset$ 平面 $AB_{1}D_{1}$，所以 $A_{1}C_{1}\perp$ 平面 $AB_{1}D_{1}$。
所以 $MN// A_{1}C_{1}$。

如图，平面 $ PAB \perp $ 平面 $ ABC $，平面 $ PAC \perp $ 平面 $ ABC $，$ AE \perp $ 平面 $ PBC $，$ E $ 为垂足.
(1) 求证：$ PA \perp $ 平面 $ ABC $；
(2) 当点 $ E $ 为 $ \triangle PBC $ 的垂心时，求证：$ \triangle ABC $ 是直角三角形.

答案：
训练1 证明
(1)如图，在平面 $ABC$ 内取一点 $D$，过点 $D$ 作 $DF\perp AC$ 于点 $F$。

因为平面 $PAC\perp$ 平面 $ABC$，且交线为 $AC$，$DF\subset$ 平面 $ABC$，所以 $DF\perp$ 平面 $PAC$。
因为 $PA\subset$ 平面 $PAC$，所以 $DF\perp PA$。
过点 $D$ 作 $DG\perp AB$ 于点 $G$，同理可证 $DG\perp PA$。
因为 $DG,DF$ 都在平面 $ABC$ 内，且 $DG\cap DF = D$，所以 $PA\perp$ 平面 $ABC$。
(2)如图，连接 $BE$ 并延长交 $PC$ 于点 $H$。
因为点 $E$ 是 $\triangle PBC$ 的垂心，所以 $PC\perp BH$。
又 $AE\perp$ 平面 $PBC$，$PC\subset$ 平面 $PBC$，所以 $PC\perp AE$。
因为 $AE\cap BH = E$，$AE,BH\subset$ 平面 $ABE$，所以 $PC\perp$ 平面 $ABE$。
又 $AB\subset$ 平面 $ABE$，所以 $PC\perp AB$。
由
(1)知 $PA\perp$ 平面 $ABC$，又 $AB\subset$ 平面 $ABC$，所以 $PA\perp AB$。
因为 $PA\cap PC = P$，$PA,PC\subset$ 平面 $PAC$，所以 $AB\perp$ 平面 $PAC$。
又 $AC\subset$ 平面 $PAC$，所以 $AB\perp AC$，即 $\triangle ABC$ 是直角三角形。