《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

(1) (2025·太原调研) 曲线 $ y = \frac{1}{x + 1} + \sin(\pi - 2x) $ 在点 $ (0, 1) $ 处的切线方程为 (D)

A.$ y = x - 1 $
B.$ x = 1 $
C.$ y = 1 $
D.$ y = x + 1 $

答案： 训练3
(1)D [
(1)因为$y=\frac{1}{x + 1}+\sin(\pi - 2x)=\frac{1}{x + 1}+\sin 2x$,所以$y'=-\frac{1}{(x + 1)^{2}}+2\cos 2x$,所以曲线$y=\frac{1}{x + 1}+\sin(\pi - 2x)$在点$(0,1)$处的切线斜率为$-\frac{1}{(0 + 1)^{2}}+2\cos 0=-1 + 2 = 1$,所以切线方程为$y - 1 = 1 × (x - 0)$,即$y = x + 1$.]

(2) (2022·新高考 I 卷) 若曲线 $ y = (x + a)\mathrm{e}^x $ 有两条过坐标原点的切线, 则 $ a $ 的取值范围是$(-\infty,-4)\cup(0,+\infty)$$$。

答案：
(2)$(-\infty,-4)\cup(0,+\infty)$ [
(2)因为$y=(x + a)e^{x}$,所以$y'=(x + a + 1)e^{x}$.设切点为$A(x_{0},(x_{0} + a)e^{x_{0}})$,$O$为坐标原点,依题意,切线斜率$k_{OA}=y'|_{x = x_{0}}=(x_{0} + a + 1)e^{x_{0}}$,所以切线的方程为$y - (x_{0} + a)e^{x_{0}}=[e^{x_{0}}+(x_{0} + a)e^{x_{0}}](x - x_{0})$,又切线过原点,所以$-(x_{0} + a)e^{x_{0}}=[e^{x_{0}}+(x_{0} + a)e^{x_{0}}](-x_{0})$,整理得$x_{0}^{2}+ax_{0}-a = 0$.因为曲线$y=(x + a)e^{x}$有两条过坐标原点的切线,所以关于$x_{0}$的方程$x_{0}^{2}+ax_{0}-a = 0$有两个不同的根,所以$\Delta = a^{2}+4a＞0$,解得$a＜-4$或$a＞0$.]

一、共切点的公切线问题
例 1 (2025·济南模拟) 已知曲线 $ y = \ln x $ 与曲线 $ y = a\left( x - \frac{1}{x} \right) $ 在交点 $ (1, 0) $ 处有相同的切线, 则 $ a = $ (B)

A.1
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ -\frac{1}{2} $
D.-1

答案： 例1B [由题知曲线$y = \ln x$和曲线$y = a(x - \frac{1}{x})$在交点$(1,0)$处有相同的切线,即斜率$k$相等.对于曲线$y = \ln x$,求导得$y' = \frac{1}{x}$.所以在点$(1,0)$处的切线斜率$k = 1$,对于曲线$y = a(x - \frac{1}{x})$,求导得$y' = a(1 + \frac{1}{x^{2}})$.所以$a(1 + \frac{1}{1^{2}})=1$,解得$a = \frac{1}{2}$,故选B.]

二、不共切点的公切线问题
例 2 (2025·杭州质检) 若曲线 $ f(x) = \mathrm{e}^x $ 在 $ x = 1 $ 处的切线与曲线 $ g(x) = \ln x + a $ 也相切, 则 $ a = $ (D)

A.$ \frac{1}{2} $
B.1
C.$ \frac{3}{2} $
D.2

答案： 例2D [由$f(x)=e^{x}$得$f(1)=e$,$f'(x)=e^{x}$,所以$f'(1)=e$,则曲线$f(x)=e^{x}$在$x = 1$处的切线为$y = ex$,设直线与曲线$g(x)=\ln x + a$相切的切点为$(x_{0},\ln x_{0}+a)$,由$g(x)=\ln x + a$得$g'(x)=\frac{1}{x}$,则$g'(x_{0})=\frac{1}{x_{0}}=e$,所以$x_{0}=\frac{1}{e}$.所以切点为$(\frac{1}{e},a - 1)$,由$(\frac{1}{e},a - 1)$在直线$y = ex$上得$a - 1 = e × \frac{1}{e}$,解得$a = 2$.]

(1) 已知定义在 $ (0, +\infty) $ 上的函数 $ f(x) = x^2 - m $, $ g(x) = 6\ln x - 4x $, 设两曲线 $ y = f(x) $ 与 $ y = g(x) $ 在公共点处的切线相同, 则 $ m $ 等于 (D)

A.-3
B.1
C.3
D.5

答案： 训练1
(1)D [
(1)依题意,设曲线$y = f(x)$与$y = g(x)$在公共点$(x_{0},y_{0})$处的切线相同.$\because f(x)=x^{2}-m,g(x)=6\ln x - 4x$,$\therefore f'(x)=2x,g'(x)=\frac{6}{x}-4$,$\therefore \begin{cases}f(x_{0})=g(x_{0})\\f'(x_{0})=g'(x_{0})\end{cases}$,即$\begin{cases}x_{0}^{2}-m=6\ln x_{0}-4x_{0}\\2x_{0}=\frac{6}{x_{0}}-4\end{cases}$,即$2x_{0}=\frac{6}{x_{0}}-4$,$\because x_{0}＞0,\therefore x_{0}=1,m = 5$.]

(2) 若直线 $ y = 4x + m $ 是曲线 $ y = x^3 - nx + 13 $ 与曲线 $ y = x^2 + 2\ln x $ 的公切线, 则 $ n - m = $ (A)

A.11
B.12
C.-8
D.-7

答案：
(2)A [
(2)由$y = x^{2}+2\ln x$,得$y' = 2x+\frac{2}{x}(x＞0)$,令$2x+\frac{2}{x}=4$,得$x = 1$,则直线$y = 4x + m$与曲线$y = x^{2}+2\ln x$相切于点$(1,4 + m)$,所以$4 + m = 1 + 2\ln 1 = 1$,得$m = - 3$.所以直线$y = 4x - 3$是曲线$y = x^{3}-nx + 13$的切线,由$y = x^{3}-nx + 13$,得$y' = 3x^{2}-n$,设切点为$(t,t^{3}-nt + 13)$,则$3t^{2}-n = 4$,且$t^{3}-nt + 13 = 4t - 3$,联立消去$n$,并整理可得$t^{3}=8$,得$t = 2$,所以$n = 8$,所以$n - m = 8 - (-3)=11$.]