《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

在$\triangle ABC$中,已知$\frac{\sin A+\sin C}{\sin B}=\frac{b + c}{a}$且满足条件①$a(\sin A-\sin B)=(c - b)\cdot(\sin C+\sin B)$;②$b\cos A + a\cos B = c\sin C$中的一个,试判断$\triangle ABC$的形状,并写出推理过程.
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.

答案： 训练2 解 由$\frac{\sin A+\sin C}{\sin B}=\frac{b + c}{a}$及正弦定理得$\frac{a + c}{b}=\frac{b + c}{a}$，即$a^{2}+ac=b^{2}+bc$，$\therefore a^{2}-b^{2}+ac - bc = 0$，$\therefore(a - b)(a + b + c)=0$，$\therefore a = b$. 若选①,则$\triangle ABC$为等边三角形.推理如下：由$a(\sin A-\sin B)=(c - b)(\sin C+\sin B)$及正弦定理,得$a(a - b)=(c - b)(c + b)$,即$a^{2}+b^{2}-c^{2}=ab$. 由余弦定理的推论得$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{1}{2}$,又$C\in(0,\pi)$,$\therefore C=\frac{\pi}{3}$.$\therefore \triangle ABC$为等边三角形. 若选②,则$\triangle ABC$为等腰直角三角形. 推理如下：$\because b\cos A+a\cos B=b\cdot\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+a\cdot\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\frac{2c^{2}}{2c}=c=\cos C$,$\therefore\sin C = 1$,$\therefore C=\frac{\pi}{2}$,$\therefore \triangle ABC$为等腰直角三角形.

考点三 三角形的面积、周长
例3 (13分)(2024·新高考Ⅰ卷)记$\triangle ABC$的内角$A$,$B$,$C$的对边分别为$a$,$b$,$c$,已知$\sin C=\sqrt{2}\cos B$,$a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2}ab$.
(1)求$B$;
(2)若$\triangle ABC$的面积为$3+\sqrt{3}$,求$c$.

答案： [思路分析]
(1)利用条件式$a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2}ab$和余弦定理求出$C$,再代入$\sin C=\sqrt{2}\cos B$求$B$.
(2)利用
(1)的结果及正弦定理求$a$,代入公式$S=\frac{1}{2}ac\sin B$中求得$c$.
[规范解答]
解
(1)由余弦定理的推论得
$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
根据条件式的结构特征、转化为余弦定理求$C$
(2分)
又$0 ＜ C ＜ \pi$,$\therefore C=\frac{\pi}{4}$,
(3分)
$\therefore\sqrt{2}\cos B=\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
将$C$代入已知等式求$B$
$\therefore\cos B=\frac{1}{2}$.
(5分)
又$0 ＜ B ＜ \pi$,$\therefore B=\frac{\pi}{3}$.
(6分)
(2)由
(1)得$A=\pi - B - C=\frac{5\pi}{12}$,
(8分)
由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$,
得$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}=\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$,$\therefore a=\frac{1+\sqrt{3}}{2}c$.
利用正弦定理得出$a$,$c$的关系式
(10分)
$\therefore\triangle ABC$的面积$S=\frac{1}{2}ac\sin B$
$=\frac{1+\sqrt{3}}{4}c^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3+\sqrt{3}$,
利用$\triangle ABC$的面积公式及$a$,$c$的关系式列方程,求$c$
解得$c = 2\sqrt{2}$.
(13分)