《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

$1. $用五点法作正弦函数和余弦函数的简图　　
$(1)$正弦函数$ y = \sin x ，$$ x \in [0, 2\pi] $的图象中，五个关键点是：$(0, 0)，$$\left( \dfrac{\pi}{2}, 1 \right)，$$(\pi, 0)，$　　$\left(\frac{3\pi}{2},-1\right)$　　，$(2\pi, 0).$　　
$(2)$余弦函数$ y = \cos x ，$$ x \in [0, 2\pi] $的图象中，五个关键点是：$(0, 1)，$$\left( \dfrac{\pi}{2}, 0 \right)，$　　$(\pi,-1)$　　，$\left( \dfrac{3\pi}{2}, 0 \right)，$$(2\pi, 1).$　　

答案： $1.(1)\left(\frac{3\pi}{2},-1\right) (2)(\pi,-1)$

2. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 $ k \in \mathbf{Z} $)

答案： $2.\{x\mid x\in\mathbf{R},且x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}\} [-1,1] [-1,1]$
$2\pi 2\pi \pi $奇函数 偶函数
$\left[2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2}\right] [2k\pi-\pi,2k\pi]$
$\left(k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2}\right) \left[2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{3\pi}{2}\right]$
$[2k\pi,2k\pi+\pi] (k\pi,0) \left(k\pi+\frac{\pi}{2},0\right)$
$x=k\pi+\frac{\pi}{2} x=k\pi$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数 $ y = \cos x $ 的对称轴是 $ y $ 轴. (×)
(2)正切函数 $ y = \tan x $ 在定义域内是增函数. (×)
(3)已知 $ y = k\sin x + 1 $，$ x \in \mathbf{R} $，则 $ y $ 的最大值为 $ k + 1 $. (×)
(4)$ y = \sin|x| $ 是偶函数. (√)

答案： $1.(1)× (2)× (3)× (4)\surd [(1)$余弦函数
$y=\cos x$的对称轴有无穷多条，y轴只是其中
的一条.
(2)正切函数$y = \tan x$在每一个区间
$\left(k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2}\right)(k\in\mathbf{Z})$上都是增函数，但
在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当k＞0时，$y_\mathrm{max}=k + 1；$
当k＜0时，$y_\mathrm{max}=-k + 1.]$

$2. ($人教$ A $必修一$ P214T10 $改编$)$函数$ y = \cos\left( x + \dfrac{\pi}{3} \right) ，$$ x \in \left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right] $的值域是　　$\left[\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right]$　　$.$　　

答案： $2.\left[\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right] [$由$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$得$x+\frac{\pi}{3}\in$
$\left[\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{6}\right]，$
所以$y=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\in\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right].]$

$3. ($湘教必修一$ P186T5(1)$改编$)$函数$ f(x) = \dfrac{1}{2}\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) ，$$ x \in \mathbf{R} $的减区间是　　$\left[\frac{5\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right](k\in\mathbf{Z})$　　$.$　　

答案： $3.\left[\frac{5\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right](k\in\mathbf{Z})$
[由$\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant2x-\frac{\pi}{3}\leqslant\frac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}，$
解得$\frac{5\pi}{12}+k\pi\leqslant x\leqslant\frac{11\pi}{12}+k\pi,k\in\mathbf{Z}，$
故f(x)的单调递减区间是
$\left[\frac{5\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right](k\in\mathbf{Z}).]$

$4. ($北师大必修二$ P62 $例$ 4 $改编$)$函数$ y = \tan\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) $的定义域为　　$\{x\in\mathbf{R}\mid x\neq\frac{3\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbf{Z}\}$　　$.$　　

答案： $4.\{x\in\mathbf{R}\mid x\neq\frac{3\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbf{Z}\} [$由$x-\frac{\pi}{4}\neq$
$\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z},$即$x\neq\frac{3\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbf{Z}，$
故函数$y=\tan\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$的定义域为
$\{x\in\mathbf{R}\mid x\neq\frac{3\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbf{Z}\}.]$