《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 抛物线的定义
(1)平面内与一个定点 $ F $ 和一条定直线 $ l $($ l $ 不经过点 $ F $)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点 $ F $ 叫做抛物线的焦点，直线 $ l $ 叫做抛物线的准线。
(2)其数学表达式：$\{ M||MF| = d \}$($ d $ 为点 $ M $ 到准线 $ l $ 的距离)。

答案： 1.
(1)相等　准线

2. 抛物线的标准方程与几何性质

答案： $x_0+\frac{p}{2}$；$\frac{p}{2}-y_0$；$p - x_1 - x_2$；$y_1 + y_2 + p$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点 $ F $ 和一条定直线 $ l $ 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线。(×)
(2)$ y^{2} = 2px(p ＞ 0) $ 中 $ p $ 越大，抛物线的开口越大。(√)
(3)抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形。(√)
(4)焦点弦最短长度为 $ p $。(×)

答案： 1.
(1)×　
(2)√　
(3)√　
(4)×　[
(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点$F$与定直线$l$垂直的一条直线，而非抛物线
(4)焦点弦最短时，该弦与对称轴垂直，长度为$2p$.]

2.(苏教选修一 P116T 原题)抛物线 $ y = 2x^{2} $ 的焦点坐标是(D)

A.$ (\frac{1}{2},0) $
B.$ (\frac{1}{8},0) $
C.$ (0,\frac{1}{2}) $
D.$ (0,\frac{1}{8}) $

答案： 2.D [抛物线$y = 2x^2$的标准方程为$x^2 = \frac{1}{2}y$，所以焦点在$y$轴，由$2p = \frac{1}{2}$，所以焦点坐标为$(0,\frac{1}{8})$.]

3.(人教 A 选修一 P134 例 3 改编)(多选)顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点 $ M(2,-2\sqrt{2}) $ 的抛物线方程为(AC)

A.$ x^{2} = -\sqrt{2}y $
B.$ y^{2} = -\sqrt{2}x $
C.$ y^{2} = 4x $
D.$ x^{2} = 4y $

答案： 3.AC [当抛物线的焦点在$x$轴上时，
设方程为$y^2 = 2px(p＞0)$，
$\therefore (-2\sqrt{2})^2 = 2p × 2$，解得$p = 2$，$\therefore y^2 = 4x$.
当抛物线的焦点在$y$轴上时，
设方程为$x^2 = -2py(p＞0)$，
$\therefore 2^2 = -2p × (-2\sqrt{2})$，
解得$p = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore x^2 = -\sqrt{2}y$.]

4.(人教 B 选修一 P164 例 2 改编)已知点 $ P $ 在抛物线 $ x^{2} = -5y $ 上，且 $ A(0,-3) $，则 $ |PA| $ 的最小值为$\frac{\sqrt{35}}{2}$。

答案： 4.$\frac{\sqrt{35}}{2}$　[设点$P$的坐标为$(x,y)$，
则$x^2 = -5y$，而且$|PA|^2 = x^2 + (y + 3)^2$
$= y^2 + y + 9 = (y + \frac{1}{2})^2 + \frac{35}{4}$.
又因为$y \leq 0$，所以$y = -\frac{1}{2}$时，$|PA|^2_{min} = \frac{35}{4}$.
因此所求最小值为$\frac{\sqrt{35}}{2}$.