《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例 4 (1) (2025·漯河检测)已知一个圆柱底面半径为 $ 2 $，高为 $ 3 $，上底面的同心圆半径为 $ 1 $，以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去，剩余几何体的表面积为(15 + 3√10)π.

答案：
例4
(1)$(15 + 3\sqrt{10})\pi$　[
(1)依题意作出大致图形,如图所示.
　　　　　　　　　　　　　
剩余几何体表面积等于圆环的面积加上圆台的侧面积再加上圆柱的侧面积.
由题可知，圆台上底面半径$r = 1$,下底面半径$R = 2$,高$h = 3$,
所以圆环的面积$S_1 = \pi(R^{2} - r^{2}) = 3\pi$,
圆台的母线$l = \sqrt{(R - r)^{2} + h^{2}} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$,
所以圆台侧面积$S_2 = \pi l(R + r) = 3\sqrt{10}\pi$,
圆柱侧面积$S_3 = 2\pi Rh = 12\pi$,
所以剩余几何体的表面积为$S_1 + S_2 + S_3 = (15 + 3\sqrt{10})\pi$.

(2) (2024·兰州诊断)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，兰州市著名景点三台阁(如图 1)的屋顶部分是典型的攒尖结构. 如图 2 所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度(单位：$ dm $)分别为 $ 2 $，$ 6 $，$ 4 $，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的表面积为____ $ dm^2 $.

答案：
(2)$34\sqrt{3} + 8$
(2)正三棱柱的侧面积为$2 × 2 × 2 = 8(dm^{2})$,
底面积为$2 × \frac{1}{2} × 2 × 2 × \sin 60^{\circ} = 2\sqrt{3}(dm^{2})$.
正四棱台中,侧面梯形的高为$\sqrt{4^{2} - (\frac{6 - 2}{2})^{2}} = 2\sqrt{3}(dm)$,
所以正四棱台的侧面积为$4 × \frac{(2 + 6) × 2\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}(dm^{2})$.
所以该结构的表面积为$8 + 2\sqrt{3} + 32\sqrt{3} = (34\sqrt{3} + 8)(dm^{2})$.]

例 5 (1) (2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 $ \sqrt{3} $，则圆锥的体积为 (B)

A.$ 2\sqrt{3}\pi $
B.$ 3\sqrt{3}\pi $
C.$ 6\sqrt{3}\pi $
D.$ 9\sqrt{3}\pi $

答案： 例5
(1)B [
(1)设圆柱和圆锥的底面半径均为$r$,因为它们的高均为$\sqrt{3}$,且侧面积相等,
所以$2\pi r × \sqrt{3} = \pi r \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + r^{2}}$,得$r^{2} = 9$,
所以圆锥的体积$V = \frac{1}{3} \pi r^{2} × \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\pi$,故选B.]

(2) (2024·天津卷)一个五面体 $ ABC - DEF $. 已知 $ AD // BE // CF $，且两两之间距离为 $ 1 $，$ AD = 1 $，$ BE = 2 $，$ CF = 3 $，则该五面体的体积为 (C)


A.$ \frac{\sqrt{3}}{6} $
B.$ \frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} $
C.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $
D.$ \frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} $

答案：

(2)C
(2)因为$AD,BE,CF$两两平行,且两两之间距离为$1$,则该五面体可以看作底面边长为$1$的正三棱柱的一部分,然后分成一个侧棱长为$1$的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥,如图,其中三棱柱的体积等于棱长均为$1$的直三棱柱的体积,四棱锥的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,底面是上底为$1$、下底为$2$、高为$1$的梯形,
　　　　　　　　　　
故该五面体的体积$V = \frac{1}{2} × 1 × \frac{\sqrt{3}}{2} × 1 + \frac{1}{3} × \frac{3}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,故选C.]

(3) (2025·南昌模拟)如图，在直三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中，$ AB = AC = AA_1 = 2 $，$ \angle BAC = \frac{\pi}{2} $，点 $ P $，$ E $ 分别为棱 $ A_1C_1 $，$ AA_1 $ 上的动点(不包括端点)，若 $ AE = A_1P $，则三棱锥 $ B_1 - A_1PE $ 的体积的最大值为 (D)


A.$ \frac{1}{24} $
B.$ \frac{1}{12} $
C.$ \frac{1}{6} $
D.$ \frac{1}{3}$$$

答案：
(3)D
(3)在直三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中,$AA_1 \perp$平面$A_1B_1C_1$,故$A_1E$为三棱锥$E - A_1B_1P$的高,
设$AE = A_1P = t,t \in (0,2)$,则$A_1E = 2 - t$,
由$\angle BAC = \frac{\pi}{2}$,得$AB \perp AC$,故$A_1B_1 \perp A_1C_1$,
则$S_{\triangle A_1B_1P} = \frac{1}{2}A_1P × A_1B_1 = t$,
故$V_{B_1 - A_1PE} = V_{E - A_1B_1P} = \frac{1}{3}S_{\triangle A_1B_1P} \cdot A_1E = \frac{1}{3}t(2 - t) = - \frac{1}{3}(t - 1)^{2} + \frac{1}{3}$,
故当$t = 1$时,三棱锥$B_1 - A_1PE$的体积取最大值$\frac{1}{3}$.]

(2025·黑龙江名校联盟模拟)若正四棱柱 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 与以正方形 $ ABCD $ 的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为 (B)

A.$ \frac{\pi}{2} $
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \sqrt{2}\pi $
D.$ 2\pi$$$

答案： 训练2 B [依题意,设正四棱柱$ABCD - A_1B_1C_1D_1$的底面边长为$a$,高为$h_1$,圆柱的高为$h_2$,则圆柱的底面半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$,
则有$a^{2}h_1 = \pi (\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2}h_2$,整理得$\frac{h_1}{h_2} = \frac{\pi}{2}$.
正四棱柱与圆柱的侧面积之比为$\frac{4ah_1}{2\pi × \frac{\sqrt{2}}{2}a × h_2} = \sqrt{2}$. ]