《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 指数幂的运算
例1 化简：
(1) $\frac{a^{\frac{4}{3}} - 8a^{\frac{1}{3}}b}{4b^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{ab} + a^{\frac{2}{3}}} ÷ (1 - 2\sqrt[3]{\frac{b}{a}}) × \sqrt[3]{a}$；
(2) $(0.0081)^{-\frac{1}{4}} - [3×(\frac{7}{8})^0]^{-1} × [81^{-0.25} + (3\frac{3}{8})^{-\frac{1}{3}}]^{-\frac{1}{2}} - 10×0.027^{\frac{1}{3}}$。

答案： 例1 解
(1)原式$=\frac{a^{\frac{1}{3}}(a-8b)}{4b^{\frac{2}{3}}+2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}}÷\frac{a^{\frac{1}{3}}-2b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}× a^{\frac{1}{3}}$
$=\frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}}-2b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}+2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+4b^{\frac{2}{3}})}{4b^{\frac{2}{3}}+2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}}×\frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}-2b^{\frac{1}{3}}}× a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{3}}× a^{\frac{1}{3}}× a^{\frac{1}{3}}=a$
(2)原式$=[(\frac{3}{10})^{-1}-(3×1)^{-1}]×[3^{-1}+(\frac{3}{2})^{-1}]^{-\frac{1}{2}}-10×[0.3^{3}]^{\frac{1}{3}}$
$=(\frac{3}{10})^{-1}-\frac{1}{3}×(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})^{-\frac{1}{2}}-10×0.3=\frac{10}{3}-\frac{1}{3}-3=0$

(1) (多选)已知$a + a^{-1} = 3$，则下列选项正确的是(ABD)

A.$a^2 + a^{-2} = 7$
B.$a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} = \pm1$
C.$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = \pm\sqrt{5}$
D.$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = 2\sqrt{5}$

答案：
(1)ABD [
(1)将$a+a^{-1}=3$两边平方,得$(a+a^{-1})^{2}=a^{2}+2+a^{-2}=9$,
所以$a^{2}+a^{-2}=7$,故A正确;
因为$(a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}})^{2}=a-2+a^{-1}=3-2=1$,$a^{\frac{1}{2}}$与$a^{-\frac{1}{2}}$的大小不确定,
所以$a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}=\pm1$,故B正确;
因为$(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})^{2}=a+2+a^{-1}=3+2=5$,又因为$a^{\frac{1}{2}}＞0,a^{-\frac{1}{2}}＞0$,所以$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$,故C错误;
由立方和公式,可得$a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}=(a^{\frac{1}{2}})^{3}+(a^{-\frac{1}{2}})^{3}=(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})(a-1+a^{-1})=\sqrt{5}×(3-1)=2\sqrt{5}$,故D正确.]

(2) $(\frac{81}{16})^{-\frac{1}{4}} + \frac{8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{(-3)^2}} - 2×(\sqrt{6} - 2)^{-1} + (\frac{\sqrt{3}}{3})^0 + 36^{\frac{1}{2}}=$1。

答案：
(2)1 [
(2)$(\frac{81}{16})^{-\frac{3}{4}}+\frac{8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{(-3)^{2}}}-2×(\sqrt{6}-2)^{-1}+(\frac{\sqrt{3}}{3})^{0}+36^{\frac{1}{2}}$
$=[(\frac{3}{2})^{-4}]^{-\frac{3}{4}}+\frac{4}{3}-2×\frac{\sqrt{6}+2}{2}+1+\sqrt{6}$
$=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}-(\sqrt{6}+2)+1+\sqrt{6}=1$

考点二 指数函数的图象及应用
例2 (1) (多选)已知$a＞0$，则函数$f(x)=a^x - 2a$的图象可能是(AD)

答案：
(1)AD [
(1)当$x=1$时,$f(1)=a-2a=-a＜0$,排除B,C;
当$a=2$时,$f(x)=2^{x}-4$,此时函数对应的图象可能为A;
当$a=\frac{1}{2}$时,$f(x)=(\frac{1}{2})^{x}-1$,此时函数对应的图象可能为D.故选AD.]

(2) (多选)(2025·石家庄调研)点$M(x_1,y_1)$在函数$y = e^x$的图象上，当$x_1\in[0,1)$时，$\frac{y_1 + 1}{x_1 - 1}$的值可能等于(BC)

A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.$0$

答案：

(2)BC [
(2)$\frac{y_{1}+1}{x_{1}-1}$表示过点$M(x_{1},y_{1})$与点$A(1,-1)$的直线的斜率$k$.
$M(x_{1},y_{1})$是$y=e^{x}$在$x\in[0,1]$图象上的动点,
如图,$B(1,e)$,则$k\in(-\infty,-2]$,只有B,C满足.]

(1) (多选)已知实数$a,b$满足等式$3^a = 6^b$，则下列可能成立的关系式为(ABC)

A.$a = b$
B.$0 ＜ b ＜ a$
C.$a ＜ b ＜ 0$
D.$0 ＜ a ＜ b$

答案：

(1)ABC [
(1)由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数$y=3^{x}$和$y=6^{x}$的图象,

由图象知,当$a=b=0$时,$3^{a}=6^{b}=1$,故A正确;
作出直线$y=k$,当$k＞1$时,若$3^{a}=6^{b}=k$,则$0 ＜b＜a$,故B正确;
作出直线$y=m$,当$0＜m＜1$时,若$3^{a}=6^{b}=m$,则$a＜b＜0$,故C正确;
当$0＜a＜b$时,易得$2^{b}＞1$,则$3^{a}＜3^{b}＜2^{b}\cdot3^{b}$,故D错误.]

(2) (2025·深圳质检)若直线$y = 2a$与函数$y = |a^x - 1|(a＞0$，且$a\neq1)$的图象有两个交点，则$a$的取值范围是$(0,\frac{1}{2})$。

答案：

(2)$(0,\frac{1}{2})$ [
(2)$y=|a^{x}-1|$的图象是由$y=a^{x}$的图象先向下平移1个单位长度,再将$x$轴下方的图象翻折到$x$轴上方,保持$x$轴上及其上方的图象不变得到的
当$a＞1$时,
两图象只有一个交点,不符合题意;
当$0＜a＜1$时,
要使两个图象有两个交点,则$0＜2a＜1$,即$0＜a＜\frac{1}{2}$.
综上可知,$a$的取值范围是$(0,\frac{1}{2})$.]