《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点三 集合的运算
例3 (1)(2024·北京卷)已知集合M = {x | -3 ＜ x ＜ 1}，N = {x | -1 ≤ x ＜ 4}，则M∪N = (C)

A.{x | -1 ≤ x ＜ 1}
B.{x | x ＞ -3}
C.{x | -3 ＜ x ＜ 4}
D.{x | x ＜ 4}

答案：
(1)C [
(1)由集合的并运算得M∪N = {x|-3 ＜ x ＜ 4}.]

(2)(2024·全国甲卷)已知集合A = {1，2，3，4，5，9}，B = {x | $\sqrt{x}$ ∈ A}，则∁_A(A∩B) = (D)

A.{1，4，9}
B.{3，4，9}
C.{1，2，3}
D.{2，3，5}

答案：
(2)D [
(2)B = {1,4,9,16,25,81},A∩B = {1,4,9},则∁A(A∩B) = {2,3,5}.故选D.]

(3) 已知集合A = {x | y = ln(1 - x²)}，B = {x | x ≤ a}，且(∁_RA)∪B = R，则实数a的取值范围为(B)

A.(1，+∞)
B.[1，+∞)
C.(-∞，1)
D.(-∞，1]

答案：
(3)B [
(3)由题可知A = {x|y = ln(1 - x²)} = {x|-1 ＜ x ＜ 1},∁RA = {x|x≤ -1或x≥1},所以由(∁RA)∪B = R,得a≥1.]

(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A = {x | -5 ＜ x³ ＜ 5}，B = {-3，-1，0，2，3}，则A∩B = (A)
A.{-1，0}
B.{2，3}
C.{-3，-1，0}
D.{-1，0，2}

答案：
(1)A [
(1)因为$A = {x|-5 ＜ x³ ＜ 5} = {x|-\sqrt[3]{5} ＜ x ＜ \sqrt[3]{5}},B = {-3,-1,0,2,3},$所以A∩B = {-1,0},故选A.]

(2)(2025·聊城质检)已知全集U = R，集合A = {x | x(x - 3) ＞ 0}，B = {x | log₂(x - 1) ＜ 2}，则图中阴影部分所表示的集合为(D)

A.{x | 3 ≤ x ＜ 5}
B.{x | 0 ≤ x ≤ 3}
C.{x | 1 ＜ x ＜ 3}
D.{x | 1 ＜ x ≤ 3}

答案：
(2)D [
(2)由Venn图可知阴影部分对应的集合为B∩(∁UA).由x(x - 3) ＞ 0,解得x ＜ 0或x ＞ 3,所以A = {x|x ＜ 0或x ＞ 3},∁UA = {x|0≤x≤3}.由log₂(x - 1) ＜ 2 = log₂4,得0 ＜ x - 1 ＜ 4,解得1 ＜ x ＜ 5,所以B = {x|1 ＜ x ＜ 5},所以B∩(∁UA) = {x|1 ＜ x≤3}.]

(3) 已知集合A，B满足A = {x | x ＞ 1}，B = {x | x ＜ a - 1}，若A∩B = ∅，则实数a的取值范围为(B)
A.(-∞，1]
B.(-∞，2]
C.[1，+∞)
D.[2，+∞)

答案：
(3)B [
(3)因为集合A,B满足A = {x|x ＞ 1},B = {x|x ＜ a - 1},则a - 1≤1,解得a≤2.]

考点四 集合的新定义问题
例4 (多选)(2025·开封联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”。对于集合A = {-2，0，$\frac{1}{2}$，1}，B = {x | (ax - 1)·(x + a) = 0}，若A与B构成“全食”或“偏食”，则实数a的取值可以是(BCD)

A.-2
B.-$\frac{1}{2}$
C.0
D.1

答案： BCD [若A与B构成“全食”或“偏食”,则A∩B≠∅.当a = 0时,B = {0};当a≠0时,B = {-a,$\frac{1}{a}$}.对于A,若a = -2,则B = {2,-$\frac{1}{2}$},此时A∩B = ∅,不满足题意;对于B,若a = -$\frac{1}{2}$,则B = {$\frac{1}{2}$,-2},此时B⊆A,满足题意;对于C,若a = 0,则B = {0},此时B⊆A,满足题意;对于D,若a = 1,则B = {-1,1},此时A∩B = {1}≠∅,满足题意.故选BCD.]

(2025·广州调研)若集合A = {x | 3x² - 8x - 3 ≤ 0}，B = {x | x ＞ 1}，定义集合A - B = {x | x ∈ A且x ∉ B}，则A - B = {x|$\frac{1}{3}$≤x≤1}。

答案： {x|$\frac{1}{3}$≤x≤1} [由3x² - 8x - 3≤0得-$\frac{1}{3}$≤x≤3,则A = {x|-$\frac{1}{3}$≤x≤3}.又A - B = {x|x∈A且x∉B},则A - B = {x|$\frac{1}{3}$≤x≤1}.]

1. 教材母题（人教A必修一P35T11）学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

答案： 设参加游泳比赛的人数$∣A∣ = 15$，参加田径比赛的人数$∣B∣ = 8$，参加球类比赛的人数$∣C∣ = 14$。
同时参加游泳和田径比赛的人数$∣A ∩ B∣ = 3$，同时参加游泳和球类比赛的人数$∣A ∩ C∣ = 3$，同时参加田径和球类比赛的人数$∣B ∩ C∣$未知设为$x$，同时参加三项比赛的人数$∣A ∩ B ∩ C∣ = 0$。
总参赛人数$∣A ∪ B ∪ C∣ = 28$。
根据集合的容斥原理，总人数可以表示为：
$∣A ∪ B ∪ C∣ = ∣A∣ + ∣B∣ + ∣C∣ - ∣A ∩ B∣ - ∣A ∩ C∣ - ∣B ∩ C∣ + ∣A ∩ B ∩ C∣$
代入已知数据：
$28 = 15 + 8 + 14 - 3 - 3 - x + 0$
解得：
$x = 3$
只参加游泳一项比赛的人数可以表示为：
$∣A - (B ∪ C)∣ = ∣A∣ - ∣A ∩ B∣ - ∣A ∩ C∣ + ∣A ∩ B ∩ C∣$
代入数据：
$∣A - (B ∪ C)∣ = 15 - 3 - 3 + 0 = 9$
答：同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人。

典例
(2024·吉林四校联考)某学校教师中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若至少会其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为20。

答案： 20 [设A = {x|x是会打乒乓球的教师人数},B = {x|x是会打羽毛球的教师人数},C = {x|x是会打篮球的教师人数}.根据题意得card(A) = 30,card(B) = 60,card(C) = 20,card(A∪B∪C) = 80,card(A∩B∩C) = 5,根据三元容斥原理得card(A∪B∪C) = card(A) + card(B) + card(C) - card(A∩B) - card(B∩C) - card(C∩A) + card(A∩B∩C),有card(A∩B) + card(B∩C) + card(C∩A) = 35,而card(A∩B) + card(B∩C) + card(C∩A)中把A∩B∩C的区域计算了3次,故要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35 - 3×5 = 20.]