《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 利用函数图象刻画实际问题的变化过程
例1(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间. 已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：

根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中正确的是 (ABC)

A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用
B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒
C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒

答案： 例1 ABC [从图象中可以看出,首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确;根据图象可知,首次服用1单位该药物,约1小时后血药浓度达到最大值,由图象可知,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正确;服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确;首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.]

已知正方形$ABCD$的边长为4，动点$P$从$B$点开始沿折线$BCDA$向$A$点运动. 设点$P$运动的路程为$x$，$\triangle ABP$的面积为$S$，则函数$S = f(x)$的图象是 (D)

答案： 训练1 D [依题意知,当$0 \leq x \leq 4$时,$f(x) = 2x$;当$4 ＜ x \leq 8$时,$f(x) = 8$;当$8 ＜ x \leq 12$时,$f(x) = 24 - 2x$,观察四个选项知D项符合要求.]

考点二 已知函数模型解决实际问题
例2(1)(2024·北京卷)生物丰富度指数$d = \frac{S - 1}{\ln N}$是河流水质的一个评价指标，其中$S$，$N$分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数. 生物丰富度指数$d$越大，水质越好. 如果某河流治理前后的生物种类数$S$没有变化，生物个体总数由$N_1$变为$N_2$，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则 (D)

A.$3N_2 = 2N_1$
B.$2N_2 = 3N_1$
C.$N_2^2 = N_1^3$
D.$N_2^3 = N_1^2$

答案： 例2
(1)D [
(1)由题意,得$\frac{S - 1}{\ln N_{1}} = 2.1$,$\frac{S - 1}{\ln N_{2}} = 3.15$.若S不变,则$2.1\ln N_{1} = 3.15\ln N_{2}$,即$2\ln N_{1} = 3\ln N_{2}$,所以$N_{1}^{2} = N_{2}^{3}$.

(2)(2025·福州调研)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为$L = L_0 D^{\frac{G}{G_0}}$，其中$L$表示每一轮优化时使用的学习率，$L_0$表示初始学习率，$D$表示衰减系数，$G$表示训练迭代轮数，$G_0$表示衰减速度. 已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减到0.45，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：$\lg 2 \approx 0.3010$，$\lg 3 \approx 0.4771$) (D)

A.11
B.44
C.227
D.481

答案：
(2)D [
(2)因为$L = L_{0}D^{\frac{G}{G_{0}}}$,所以$L = 0.5 × D^{\frac{22}{22}}$,依题意得$0.45 = 0.5 × D^{1} \Rightarrow D = \frac{9}{10}$,则$L = 0.5 × (\frac{9}{10})^{\frac{G}{22}}$.由$L = 0.5 × (\frac{9}{10})^{\frac{G}{22}} ＜ 0.05$得$(\frac{9}{10})^{\frac{G}{22}} ＜ \frac{1}{10}$,两边取常用对数得$\frac{G}{22}(\lg 9 - \lg 10) ＜ - 1$,$G \cdot (\lg 9 - 1) ＜ - 22$,$G \cdot (1 - \lg 9) ＞ 22$(不等式两边同乘$- 1$,不等号改变方向),$G ＞ \frac{22}{1 - \lg 9} = \frac{22}{1 - 2\lg 3} \approx \frac{22}{1 - 2 × 0.4771} = \frac{22}{0.0458} \approx 480.35$.所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.]