《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

训练2 已知函数$f(x)=\ln x-a(x-1)$,$a\in\mathbf{R}$,$x\in[1,+\infty)$,且$f(x)\leqslant\frac{\ln x}{x+1}$恒成立,求$a$的取值范围.$[\frac{1}{2},+\infty)$

答案： 训练2 解 $f(x)-\frac{\ln x}{x + 1}=\frac{x\ln x - a(x^{2}-1)}{x + 1}$。
构造函数$g(x)=x\ln x - a(x^{2}-1)(x \geqslant 1)$，$g^{\prime}(x)=\ln x + 1 - 2ax$。
令$F(x)=g^{\prime}(x)=\ln x + 1 - 2ax$，$F^{\prime}(x)=\frac{1 - 2ax}{x}$。
①若$a \leqslant 0$，则$F^{\prime}(x)＞0$，$g^{\prime}(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增，$g^{\prime}(x) \geqslant g^{\prime}(1)=1 - 2a＞0$。
$\therefore g(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增，$g(x) \geqslant g(1)=0$，从而$f(x)-\frac{\ln x}{x + 1} \geqslant 0$，不符合题意。
②若$0 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$，当$x \in [1,\frac{1}{2a})$时，$F^{\prime}(x)＞0$，$\therefore g^{\prime}(x)$在$[1,\frac{1}{2a})$上单调递增。
从而$g^{\prime}(x) \geqslant g^{\prime}(1)=1 - 2a＞0$，$\therefore g(x)$在$[1,\frac{1}{2a})$上单调递增。
$g(x) \geqslant g(1)=0$，从而$f(x)-\frac{\ln x}{x + 1} \geqslant 0$，不符合题意。
③若$a \geqslant \frac{1}{2}$，则$F^{\prime}(x) \leqslant 0$在$[1,+\infty)$上恒成立，$\therefore g^{\prime}(x)$在$[1,+\infty)$上单调递减。
$g^{\prime}(x) \leqslant g^{\prime}(1)=1 - 2a \leqslant 0$，$\therefore g(x)$在$[1,+\infty)$上单调递减。
从而$g(x) \leqslant g(1)=0$，$f(x)-\frac{\ln x}{x + 1} \leqslant 0$。
综上，$a$的取值范围是$[\frac{1}{2},+\infty)$。