《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

角度 3 最值(范围)问题
例 4 (1) (2025·杭州调研) 由直线 $ y = x + 1 $ 上的动点 $ P $ 向圆 $ C:(x - 3)^2 + y^2 = 1 $ 引切线，则切线长的最小值为$\sqrt{7}$.

答案：
例4
(1)$\sqrt{7}$ [
(1)如图,切线长$|PM| = \sqrt{|PC|^2 - 1}$,

显然当$|PC|$为$C$到直线$y = x + 1$的距离即$\frac{|3 + 1|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$时,$|PM|$的最小值为$\sqrt{7}$.

(2) (2025·河南名校联考) 已知 $ \odot C:x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0 $，直线 $ l:x + 2y + 2 = 0 $，$ M $ 为直线 $ l $ 上的动点，过点 $ M $ 作 $ \odot C $ 的切线 $ MA,MB $，切点为 $ A,B $，当四边形 $ MACB $ 的面积取最小值时，直线 $ AB $ 的方程为$x + 2y + 1 = 0$.

答案：
例4
(2)$x + 2y + 1 = 0$ [
(2)$\odot C:x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$的标准方程为$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$,
则圆心$C(1,1)$,半径$r = 2$.
如图,连接$MC$,
则四边形$MACB$的面积
$S = 2S_{\triangle CAM} = |CA| \cdot |AM| = 2|AM| = 2\sqrt{|CM|^2 - 4}$

要使四边形$MACB$的面积最小,
则需$|CM|$最小,
此时$CM$与直线$l$垂直,直线$CM$的方程为$y - 1 = 2(x - 1)$,即$y = 2x - 1$,
联立$\begin{cases}y = 2x - 1\\x + 2y + 2 = 0\end{cases}$,得$M(0,-1)$,则$|CM| = \sqrt{5}$.则以$CM$为直径的圆的方程为
$(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{5}{4}$,
与$\odot C$的方程作差可得直线$AB$的方程为$x + 2y + 1 = 0$.]

(1) (2021·北京卷改编) 已知圆 $ C:x^2 + y^2 = 4 $，直线 $ l:y = kx + m $，当 $ k $ 变化时，$ l $ 截得圆 $ C $ 弦长的最小值为 2，则 $ m = $$\pm \sqrt{3}$.

答案： 训练2
(1)$\pm \sqrt{3}$ [
(1)圆心$C(0,0)$,半径$r = 2$,则圆心$C$到直线$l$的距离$d = \frac{|m|}{\sqrt{1 + k^2}}$,设弦长为$a$,则由弦长公式可得
$d = \sqrt{r^2 - \frac{1}{4}a^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{4}a^2}$
若$a$取最小值$2$时，则$d$取最大值$\sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$,又$d = \frac{|m|}{\sqrt{1 + k^2}}$,$\because \sqrt{1 + k^2} \geq 1$,$\therefore d$最大值为$|m|$,$\therefore |m| = \sqrt{3}$,即$m = \pm \sqrt{3}$.

(2) 已知直线 $ l:x + ay - 1 = 0 $ 是圆 $ C:x^2 + y^2 - 6x - 2y + 1 = 0 $ 的对称轴，过点 $ A(-1,a) $ 作圆 $ C $ 的一条切线，切点为 $ B $，则 $ |AB| $ 等于4.

答案： 训练2
(2)4 [
(2)已知直线$l:x + ay - 1 = 0$是圆$C:x^2 + y^2 - 6x - 2y + 1 = 0$的对称轴,
又圆心$C(3,1)$,半径$r = 3$,
所以直线$l$过圆心$C(3,1)$,故$3 + a - 1 = 0$,即$a = -2$,所以点$A(-1,-2)$,
$|AC| = \sqrt{(3 + 1)^2 + (1 + 2)^2} = 5$,
$|AB| = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.]

典例 (2024·全国甲卷改编) 已知直线 $ ax + y + 2 - a = 0 $ 与圆 $ C:x^2 + y^2 + 4y - 1 = 0 $ 交于 $ A,B $ 两点，则 $ |AB| $ 的最小值为4.

答案： 典例4 [设直线为$l:ax + y + 2 - a = 0$,即$l:a(x - 1) + y + 2 = 0$,易知$l$过定点$P(1,-2)$,圆$C$的标准方程为$x^2 + (y + 2)^2 = 5$,所以圆心为$C(0,-2)$,半径为$\sqrt{5}$,且$P$在圆$C$内
因为当$PC \perp AB$时,圆心$C$到直线$l$的距离最大，此时$|AB|$取得最小值，
易得$|PC| = |x_P - x_C| = 1$,
所以$|AB| = 2\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = 4$.]

考点三 圆与圆的位置关系
例 5 已知两圆 $ C_1:x^2 + y^2 - 2x - 6y - 1 = 0 $ 和 $ C_2:x^2 + y^2 - 10x - 12y + 45 = 0 $.
(1) 求证：圆 $ C_1 $ 和圆 $ C_2 $ 相交；
(2) 求圆 $ C_1 $ 和圆 $ C_2 $ 的公共弦所在直线的方程和公共弦长.例5(1)证明　$\because C_1:(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 11$,圆心$C_1(1,3)$,半径$r_1 = \sqrt{11}$;$C_2:(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 16$,圆心$C_2(5,6)$,半径$r_2 = 4$.$\therefore |C_1C_2| = \sqrt{(5 - 1)^2 + (6 - 3)^2} = 5$,$\because 4 - \sqrt{11} ＜ |C_1C_2| = 5 ＜ 4 + \sqrt{11}$,$\therefore$圆$C_1$和圆$C_2$相交.(2)解　将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程是$4x + 3y - 23 = 0$.圆心$C_2(5,6)$到直线$4x + 3y - 23 = 0$的距离$d = \frac{|20 + 18 - 23|}{5} = 3$,由此可得公共弦的长$l = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{16 - 9} = 2\sqrt{7}$.

答案： 例5
(1)证明　$\because C_1:(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 11$,圆心$C_1(1,3)$,半径$r_1 = \sqrt{11}$;
$C_2:(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 16$,
圆心$C_2(5,6)$,半径$r_2 = 4$.
$\therefore |C_1C_2| = \sqrt{(5 - 1)^2 + (6 - 3)^2} = 5$,
$\because 4 - \sqrt{11} ＜ |C_1C_2| = 5 ＜ 4 + \sqrt{11}$,
$\therefore$圆$C_1$和圆$C_2$相交.
(2)解　将两圆方程相减,
得公共弦所在直线方程是$4x + 3y - 23 = 0$.
圆心$C_2(5,6)$到直线$4x + 3y - 23 = 0$的距离$d = \frac{|20 + 18 - 23|}{5} = 3$,
由此可得公共弦的长
$l = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{16 - 9} = 2\sqrt{7}$.

(1) (2025·沧州质检) “$ a \geq \frac{\sqrt{2}}{2} $”是“圆 $ C_1:x^2 + y^2 = 4 $ 与圆 $ C_2:(x - a)^2 + (y + a)^2 = 1 $ 有公切线”的()

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A

(2) (2025·衡阳质检) 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，圆 $ C $ 的方程为 $ x^2 + y^2 - 8x + 15 = 0 $，若直线 $ y = kx - 2 $ 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 $ C $ 有公共点，则 $ k $ 的最大值是.

答案： $\frac{4}{3}$