《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 双曲线的定义及应用
例 1 (1)已知定点 $ F_1(-2,0) $， $ F_2(2,0) $， $ N $ 是圆 $ O:x^2 + y^2 = 1 $ 上任意一点，点 $ F_1 $ 关于点 $ N $ 的对称点为 $ M $，线段 $ F_1M $ 的中垂线与直线 $ F_2M $ 相交于点 $ P $，则点 $ P $ 的轨迹是(B)

A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆

答案：
例1
(1)B　
(2)3
[
(1)如图，连接$ON$，
由题意可得$|ON|=1$，且$N$为$MF_1$的中点，又$O$为$F_1F_2$的中点，

所以$|MF_2|=2$.
因为点$F_1$关于点$N$的对称点为$M$，线段$F_1M$的中垂线与直线$F_2M$相交于点$P$，
由垂直平分线的性质可得$|PM|=|PF_1|$，
所以$||PF_2|-|PF_1||=||PF_2|-|PM||=|MF_2|=2＜|F_1F_2|$，
所以由双曲线的定义可得，点$P$的轨迹是以$F_1,F_2$为焦点的双曲线.

(2)(2025·宁波质检)设 $ F_1,F_2 $ 是双曲线 $ C:x^2-\frac{y^2}{3}=1 $ 的两个焦点， $ O $ 为坐标原点，点 $ P $ 在 $ C $ 上且 $ |OP| = 2 $，则 $ \triangle PF_1F_2 $ 的面积为____.

答案：
(2)3
(2)双曲线的焦点为$F_1(-2,0),F_2(2,0)$，
因为$|OP|=2=\frac{1}{2}|F_1F_2|$，
所以点$P$在以$F_1F_2$为直径的圆上，
即$\triangle F_1F_2P$是以$P$为直角顶点的直角三角形，
故$|PF_1|^{2}+|PF_2|^{2}=|F_1F_2|^{2}$，
即$|PF_1|^{2}+|PF_2|^{2}=16$.
又$||PF_1|-|PF_2||=2a=2$，所以$4=||PF_1|-|PF_2||^{2}=|PF_1|^{2}+|PF_2|^{2}-2|PF_1|\cdot|PF_2|=16 - 2|PF_1|\cdot|PF_2|$，
解得$|PF_1|\cdot|PF_2|=6$，
所以$S_{\triangle PF_1F_2}=\frac{1}{2}|PF_1|\cdot|PF_2|=3$;]

(1)(2025·广州模拟)已知 $ F $ 为双曲线 $ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1 $ 的左焦点， $ P $ 为其右支上一点，点 $ A(0,-6) $，则 $ \triangle APF $ 周长的最小值为(B)

A.$ 4 + 6\sqrt{2} $
B.$ 4 + 6\sqrt{5} $
C.$ 6 + 6\sqrt{2} $
D.$ 6 + 6\sqrt{5} $

答案： 训练1
(1)B　
(2)$2\sqrt{3}$
[
(1)设双曲线的右焦点为$M$，
由双曲线的方程可得$a^{2}=4,b^{2}=5$，
则$a = 2,b=\sqrt{5},c = 3$，
所以$F(-3,0),M(3,0)$，
且$|PF|-|PM|=2a=4$，
所以$|PF|=|PM|+4$，
$\triangle APF$的周长为$|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PM|+4+|AF|=|PA|+|PM|+4+3\sqrt{5} \geqslant |AM|+4+3\sqrt{5}=4+6\sqrt{5}$，
当且仅当$M,P,A$三点共线时取等号，
则$\triangle APF$周长的最小值为$4+6\sqrt{5}$.

(2)已知 $ F_1,F_2 $ 为双曲线 $ C:x^2 - y^2 = 2 $ 的左、右焦点，点 $ P $ 在 $ C $ 上， $ \angle F_1PF_2 = 60^{\circ} $，则 $ \triangle F_1PF_2 $ 的面积为____.

答案：
(2)$2\sqrt{3}$
(2)不妨设点$P$在双曲线的右支上，
则$|PF_1|-|PF_2|=2a=2\sqrt{2}$，
在$\triangle F_1PF_2$中，由余弦定理的推论，得
$\cos \angle F_1PF_2=\frac{|PF_1|^{2}+|PF_2|^{2}-|F_1F_2|^{2}}{2|PF_1|\cdot|PF_2|}=\frac{1}{2}$，
$\therefore |PF_1|\cdot|PF_2|=8$，
$\therefore S_{\triangle F_1PF_2}=\frac{1}{2}|PF_1|\cdot|PF_2|\cdot\sin 60^{\circ}=2\sqrt{3}$

考点二 双曲线的标准方程
例 2 (1)(2024·天津卷)已知双曲线 $ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0) $ 的左、右焦点分别为 $ F_1,F_2 $， $ P $ 是双曲线右支上一点，且直线 $ PF_2 $ 的斜率为 $ 2 $， $ \triangle PF_1F_2 $ 是面积为 $ 8 $ 的直角三角形，则双曲线的方程为(C)

A.$ \frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{2}=1 $
B.$ \frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1 $
C.$ \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{8}=1 $
D.$ \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1 $

答案： 例2
(1)C　
(2)$\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$　
(3)$\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{75}=1$
[
(1)由题意可知，$\angle F_1PF_2=90^{\circ}$，
又直线$PF_2$的斜率为2，
可得$\tan \angle PF_2F_1=\frac{|PF_1|}{|PF_2|}=2$，
根据双曲线定义$|PF_1|-|PF_2|=2a$，
得$|PF_1|=4a,|PF_2|=2a$，$S_{\triangle PF_1F_2}=\frac{1}{2}|PF_1||PF_2|=\frac{1}{2}× 4a× 2a=4a^{2}$，
又$S_{\triangle PF_1F_2}=8$，所以$a^{2}=2$，所以$|F_1F_2|^{2}=|PF_1|^{2}+|PF_2|^{2}=(4a)^{2}+(2a)^{2}=20a^{2}=40$.
又$|F_1F_2|^{2}=4c^{2}$，所以$c^{2}=10$，
又$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以$b^{2}=8$，
所以双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$，故选C

(2)已知双曲线的离心率 $ e=\frac{\sqrt{5}}{2} $，且该双曲线经过点 $ (2,2\sqrt{5}) $，则该双曲线的标准方程为$\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$.

答案：
(2)$\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$
(2)由题意，知$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1 + (\frac{b}{a})^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得$a = 2b$，
当焦点在$x$轴上时，设双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，
$\because$点$(2,2\sqrt{5})$在该双曲线上，$\therefore \frac{4}{a^{2}}-\frac{20}{b^{2}}=1$，
即$\frac{4}{4b^{2}}-\frac{20}{b^{2}}=1$，此方程无解；
当焦点在$y$轴上时，设双曲线的标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，
$\because$点$(2,2\sqrt{5})$在该双曲线上，$\therefore \frac{20}{a^{2}}-\frac{4}{b^{2}}=1$，
即$\frac{20}{4b^{2}}-\frac{4}{b^{2}}=1$，解得$b = 1$，$\therefore a = 2$，
$\therefore$该双曲线的标准方程为$\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$.

(3)经过点 $ P(3,2\sqrt{7}) $， $ Q(-6\sqrt{2},7) $ 的双曲线的标准方程为____.

答案：
(3)$\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{75}=1$
(3)设双曲线方程为$mx^{2}-ny^{2}=1(mn＞0)$，
$\therefore \begin{cases}9m - 28n = 1\\72m - 49n = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -\frac{1}{75}\\n = -\frac{1}{25}\end{cases}$
$\therefore$双曲线的标准方程为$\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{75}=1$.]

(1)已知圆 $ C_1:(x + 3)^2 + y^2 = 1 $， $ C_2:(x - 3)^2 + y^2 = 9 $，动圆 $ M $ 同时与圆 $ C_1 $ 和圆 $ C_2 $ 相外切，则动圆圆心 $ M $ 的轨迹方程为(C)

A.$ x^2-\frac{y^2}{8}=1 $
B.$ \frac{x^2}{8}-y^2=1 $
C.$ x^2-\frac{y^2}{8}=1(x\leq -1) $
D.$ x^2-\frac{y^2}{8}=1(x\geq 1) $

答案： 训练2
(1)C　
(2)$4x^{2}-y^{2}=1$
[
(1)设动圆$M$的半径为$r$，
由动圆$M$同时与圆$C_1$和圆$C_2$相外切，
得$|MC_1|=1 + r$，$|MC_2|=3 + r$，
$|MC_2|-|MC_1|=2＜6$，
所以动圆圆心$M$的轨迹是以点$C_1(-3,0)$和$C_2(3,0)$为焦点的双曲线的左支，
且$2a = 2$，解得$a = 1$，
又$c = 3$，则$b^{2}=c^{2}-a^{2}=8$，
所以动圆圆心$M$的轨迹方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1(x\leqslant -1)$.

(2)(2025·银川诊断)若双曲线经过点 $ (1,\sqrt{3}) $，其渐近线方程为 $ y=\pm 2x $，则双曲线的方程是$4x^{2}-y^{2}=1$.

答案：
(2)$4x^{2}-y^{2}=1$
(2)法一 由题意可知，①若双曲线的焦点在$x$轴上，则可设$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，
则$\frac{1}{a^{2}}-\frac{3}{b^{2}}=1$且$\frac{b}{a}=2$，
联立解得$a=\frac{1}{2}$、$b = 1$，
则双曲线的方程为$4x^{2}-y^{2}=1$；
②若双曲线的焦点在$y$轴上，则可设$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，
则$\frac{3}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}=1$，且$\frac{a}{b}=2$，此时无解，
综上，双曲线的方程为$4x^{2}-y^{2}=1$.
法二 由题可设双曲线方程为$4x^{2}-y^{2}=\lambda(\lambda≠0)$，
$\because$双曲线经过点$(1,\sqrt{3})$，
$\therefore \lambda = 4× 1^{2}-(\sqrt{3})^{2}=1$，
$\therefore$双曲线方程为$4x^{2}-y^{2}=1$.]